5.1.1 数列的概念（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第三册（人教B版）

第五章　数列 5.1　数列基础 5.1.1　数列的概念 [学习任务] 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法，掌握数列的分类，了解数列的单调性. 2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项. 3.会根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. [对应学生用书第1页] 知识点一　数列的概念 1.按照一定次序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数都称为这个数列的项，各项依次称为这个数列的第1项（或首项），第2项……，组成数列的数的个数称为数列的项数. 2.一般地，项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列.有穷数列的最后一项一般也称为这个数列的末项. 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）1，1，1，1是一个数列. （√） （2）数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}. （×） （3）1，2，3，4与4，3，2，1表示同一个数列. （×） 知识点二　数列的通项 1.数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，其中an表示数列的第 n项（也称n为an的序号，其中n为正整数，即n∈N＋），称为数列的通项.此时，一般将整个数列简记为{an}. 2.一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f（n）来表示，其中f（n）是关于n的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式. 1.若数列的通项公式为an＝，则该数列的第5项为 （　　） A. B. C. D. 解析　由已知得a5＝＝，故选C. 答案　C 2.数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式是　　　　.  解析　通过观察数列中数据的特征可得第n项数等于2的n次方加1，即an＝2n＋1，n∈N*. 答案　an＝2n＋1，n∈N* 知识点三　数列与函数的关系 1.数列与函数的关系 　　事实上，数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.这就提示我们，数列也可以用平面直角坐标系中的点来直观地表示. 2.数列的单调性 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 摆动数列 an与an＋1的大小不确定 [思考]　如何判断一个数列是递增数列还是递减数列？ [提示]　（1）按定义判断：若an＋1＞an，则{an}是递增数列；若an＋1＜an，则{an}是递减数列. （2）利用函数f（n）在（0，＋∞）上的单调性判断. [对应学生用书第2页] 探究一　数列的概念与分类 [例1]　已知下列数列： （1）0，0，0，0，0，0； （2）0，－1，2，－3，4，－5，…； （3）0，，，…，，…； （4）1，0.2，0.22，0.23，…； （5）0，－1，0，…，cosπ，…. 其中，有穷数列是　　　，无穷数列是　　　，递增数列是　　　，递减数列是　　　　，常数列是　　　　，摆动数列是　　　　.（填序号）  [解析]　（1）是常数列且是有穷数列； （2）是无穷摆动数列； （3）是无穷递增数列； （4）是无穷递减数列； （5）是无穷摆动数列. [答案]　（1）　（2）（3）（4）（5）　（3）　（4）　（1）　（2）（5） 　　判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列.而判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足an＜an＋1，则是递增数列；若满足an＞an＋1，则是递减数列；若满足an＝an＋1，则是常数列；若an与an＋1的大小不确定时，则是摆动数列. 1.下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？ （1）1，0.84，0.842，0.843，…； （2）2，4，6，8，10，…； （3）7，7，7，7，…； （4），，，，…； （5）10，9，8，7，6，5，4，3，2，1； （6）0，－1，2，－3，4，－5，…. 解　（5）是有穷数列；（1）（2）（3）（4）（6）是无穷数列；（2）是递增数列；（1）（4）（5）是递减数列；（3）是常数列. 探究二　由数列的前几项求通项公式 [例2]　写出下列数列的一个通项公式： （1），2，，8，，…； （2）9，99，999，9 999，…； （3）1，2，3，4，…； （4）－，，－，，…. [解]　（1）数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，，…，所以它的一个通项公式为an＝（n∈N*）. （2）各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数