重难点04 基本初等函数及其应用-2023年高考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）

重难点04 基本初等函数及其应用 一、基本初等函数 基本初等函数作为高考的命题热点，多考查指数式与对数式的运算，利用函数的图像和性质解决相关问题，难度中等. 1.指数函数、对数函数、幂函数的图象． 2.指数函数、对数函数、幂函数的性质. 基本初等函数的图象与性质的应用技巧 (1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，若底数a的值不确定，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数． (2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断． (3)对于幂函数y＝xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同． 一、填空题 1．（2022·上海·高三专题练习）已知指数函数在定义域内为减函数，则实数的取值范围_________. 2．（2023·上海·高三专题练习）幂函数的图像过点，则函数的反函数=_____（要求写明定义域）． 3．（2018·上海市第二中学高三期中）幂函数是偶函数，则________ 4．（2023·上海·高三专题练习）若，且函数与的图象恰有两个交点，则满足条件的不同集合有________个 5．（2022·上海·高三专题练习）已知指数函数，方程的解集为，则的值为________ 6．（2023·上海·高三专题练习）已知函数且，其中为奇函数, 为偶函数，若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是___________. 7．（2012·上海青浦·高三期末）直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数的图象恰好经过个格点，则称函数为阶格点函数.下列函数： ①；②；③；④其中是一阶格点函数的有_______________（填上所有满足题意的序号）． 8．（2021·上海·复旦附中高三阶段练习）设函数在区间上的最大值为，若，则实数t的最大值为___________. 二、单选题 9．（2022·上海师大附中高三阶段练习）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 10．（2023·上海·高三专题练习）关于函数和实数的下列结论中正确的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（2020·上海市洋泾中学高三期中）已知函数的图象关于直线对称，若且，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（2022·上海·高三专题练习）已知 ，为个不同的幂函数，有下列命题： ① 函数 必过定点； ② 函数可能过点； ③ 若 ，则函数为偶函数； ④ 对于任意的一组数、、…、，一定存在各不相同的个数、、…、使得在上为增函数.其中真命题的个数为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 三、解答题 13．（2023·上海·高三专题练习）已知. （1）解不等式：； （2）若在区间上的最小值为，求实数a的值. 14．（2022·上海大学附属南翔高级中学高三期中）已知函数． (1)若，解关于x的方程； (2)讨论的奇偶性，并说明理由； (3)若在上恒成立，求实数的取值范围． 15．（2023·上海·高三专题练习）已知，. （1）当时，求函数的值域； （2）对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 16．（2023·上海·高三专题练习）已知函数在区间，上的最大值为5，最小值为1． （1）求，的值及的解析式； （2）设，若不等式在，上有解，求实数的取值范围． 17．（2021·上海市高桥中学高三期中）对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”． （1）已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由； （2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 二、函数的零点问题 利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以选择、填空为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度 . 1.判断函数零点所在的区间． 2.确定函数零点或方程根的个数． 3.利用函数零点及方程根的关系求参数的取值范围. 4.函数的交点问题. 1．判断函数在某个区间上是否存在零点的方法 (1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上． (2)利用零点存在性定理进行判断． (3)画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 2．判断函数零点个数的3种方法 3．利用函数零点的情况求参数的范围的3种方法 一、填空题 1．（200