10.2.2 复数的乘法与除法（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第四册（人教B版）

10.2.2　复数的乘法与除法 [学习任务] 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. [对应学生用书第29页] 知识点一　复数的乘法 1.复数的乘法 一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），称z1z2（或z1×z2）为z1与z2的积，并规定z1z2＝（a＋bi）（c＋di）＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i. 2.复数乘法的运算律 （1）对任意复数z1，z2，z3，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 （z1z2）z3＝z1（z2z3） 乘法对加法的分配律 z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3 （2）n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方（或n次幂），并记作zn，即zn＝.可以验证，当m，n均为正整数时，zmzn＝，（zm）n＝zmn，（z1z2）n＝. 3.复数的和平方公式、平方差公式 （1）（z1＋z2）2＝＋2z1z2＋. （2）－＝（z1＋z2）（z1－z2）. 4.共轭复数的性质 设z的共轭复数为，则 （1）z＝｜z｜2＝｜｜2. （2）＝（）2. （3）＝. 1.已知z1＝2i，z2＝1－i，z＝z1z2，则复数z为 （　　） A.2＋2i B.2－2i C.－2＋2i D.－2－2i 解析　由题设，z＝z1z2＝2i×（1－i）＝2i＋2. 答案　A 知识点二　复数的除法法则 1.复数的倒数 一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数. 2.复数的除法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R且c＋di≠0），则＝＝＋（a，b，c，d∈R且c＋di≠0）. 2.已知（2＋i）z＝1－i，则z＝ （　　） A.1－ B.－i C.－ D.＋ 解析　因为（2＋i）z＝1－i，所以z＝＝＝－. 答案　C 知识点三　实系数一元二次方程在复数范围 内的解集 当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，而且 （1）当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根； （3）当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有两个互为共轭的虚数根. 3.方程4x2＋9＝0的根为　　　　　　　 　.  解析　因为4x2＋9＝0，所以x2＝－，所以x＝±. 答案　± [对应学生用书第30页] 探究一　复数的乘法和除法运算 [例1]　计算： （1）（1＋i）（1－i）＋（－1＋i）； （2）（1＋i）； （3）（－2＋3i）÷（1＋2i）； （4）－. [解]　（1）（1＋i）（1－i）＋（－1＋i）＝1－i2＋（－1＋i）＝2－1＋i＝1＋i. （2）（1＋i） ＝（1＋i） ＝（1＋i）＝＋ ＝－＋. （3）（－2＋3i）÷（1＋2i）＝＝ ＝＝＋. （4）方法一：－ ＝ ＝＝＝2i. 方法二： －＝－＝i＋i＝2i. 　　复数乘除运算的常用技巧 （1）按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算. （2）根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似. 1.（2022·广东高一期中）若复数z＝（i为虚数单位），则｜z｜＝ （　　） A. B. C.1 D.2 解析　依题意，z＝＝＝－＋，所以｜z｜＝＝. 答案　A 2.（2022·石家庄高一月考）设i为虚数单位，复数z满足（3＋4i）z＝25，则在复平面内z对应的点位于 （　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析　由题意，（3＋4i）z＝25，故z＝＝＝3－4i，在复平面内z对应的点为（3，－4），位于第四象限. 答案　D 3.已知复数z满足（1－i）z＝2i（i为虚数单位），则＝ （　　） A.－1－i B.－1＋i C.1＋i D.1－i 解析　由题意可得，z＝＝＝－1＋i， 所以＝－1－i. 故选A. 答案　A 4.已知复数z＝，则z的虚部为 （　　） A.－1 B.－i C.1 D.i 解析　复数z＝＝＝＝i，则z的虚部为1. 答案　C 探究二　复数运算的综合应用 [例2]　已知z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1. （1）求｜z1｜的值以及z1的实部的取值范围； （2）若ω＝，求证：ω为纯虚数. [解]　设z1＝a＋bi（a，b∈R，且b≠0）， （1）z2＝z1＋＝a＋bi＋＝＋. 因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1， 即｜z1｜＝1，所以z2＝2a. 由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－≤