10.2.1 复数的加法与减法（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第四册（人教B版）

10.2　复数的运算 10.2.1　复数的加法与减法 [学习任务] 1.熟练掌握复数的代数形式的加、减法运算法则. 2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题. [对应学生用书第26页] 知识点一　复数的加法与减法 1.运算法则 一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）， 规定z1＋z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i， z1－z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i. 2.加法运算律 对任意复数z1，z2，z3，有z1＋z2＝z2＋z1，（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）. 　判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）两个虚数的和或差可能是实数. （√） （2）在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部. （√） （3）复数的减法不满足结合律，即（z1－z2）－z3＝z1－（z2＋z3）可能不成立. （×） （4）若复数z1－z2＞0，则z1＞z2. （×） 知识点二　复数加减法的几何意义 复数加法的几何意义 如果复数z1，z2所对应的向量分别为与，则当与不共线时，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则z1＋z2所对应的向量就是. 推论：｜｜z1｜－｜z2｜｜≤｜z1＋z2｜≤｜z1｜＋｜z2｜ 复数减法的 几何意义 如果复数z1，z2所对应的向量分别为与，设点Z满足＝，则z1－z2所对应的向量就是. 推论：｜｜z1｜－｜z2｜｜≤｜z1－z2｜≤｜z1｜＋｜z2｜ 　在复平面内，，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则对应的复数为 （　　） A.－1－5i B.－1＋5i C.3－4i D.3＋4i 解　＝－＝（－2－3i）－（－1＋2i）＝－1－5i. 答案　A [对应学生用书第27页] 探究一　复数的加减运算 [例1]　计算： （1）（－2＋3i）＋（5－i）； （2）（－1＋）＋（1＋）； （3）（a＋bi）－（2a－3bi）－3i（a，b∈R）. [解]　（1）（－2＋3i）＋（5－i）＝（－2＋5）＋（3－1）i＝3＋2i.（2）（－1＋）＋（1＋） ＝（－1＋1）＋（＋）i＝2. （3）（a＋bi）－（2a－3bi）－3i＝（a－2a）＋（b＋3b－3）i＝－a＋（4b－3）i. 　　复数的加减运算的技巧 （1）复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. （2）把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项. 1.计算下列各题： （1）（3－2i）－（10－5i）＋（2＋17i）； （2）（1－2i）－（2－3i）＋（3－4i）－（4－5i）＋…＋（2 017－2 018i）. 解　（1）原式＝（3－10＋2）＋（－2＋5＋17）i＝－5＋20i. （2）原式＝（1－2＋3－4＋…＋2 015－2 016＋2 017）＋（－2＋3－4＋5－…－2 016＋2 017－2 018）i＝1 009－1 010i. 探究二　复数加减运算的几何意义 [例2]　（1）如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0，3＋2i，－2＋4i.求： ①表示的复数； ②表示的复数； ③表示的复数. [解]　∵A，C对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i， 由复数的几何意义知，与表示的复数分别为 3＋2i，－2＋4i. ①因为＝－，所以表示的复数为－3－2i. ②因为＝－，所以表示的复数为 （3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i. ③＝＋，所以表示的复数为 （3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i. （2）已知z1，z2∈C，｜z1｜＝｜z2｜＝1，｜z1＋z2｜＝，求｜z1－z2｜. [解]　根据复数加减法的几何意义，由｜z1｜＝｜z2｜知， 以OA，OB为邻边的平行四边形OACB是菱形. 如图，对应的复数为z1，对应的复数为z2， ∴｜｜＝｜｜，对应的复数为z1＋z2，∴｜｜＝. 在△AOC中，｜｜＝｜｜＝1，｜｜＝， 由余弦定理，得∠AOC＝30°. 同理得∠BOC＝30°，∴△OAB为等边三角形， 则｜｜＝1.又对应的复数为z1－z2，∴｜z1－z2｜＝1. 　　（1）复数运算的常用技巧. ①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理. ②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中. （2）常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点. ①四边形OACB为平行四边形. ②若｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜，则四边形OACB为矩形. 　　③若｜z1｜＝｜z2｜，则四边形OACB为菱形. ④若｜z1｜＝｜z2｜且｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜，则四边形OACB为正