10.1.2 复数的几何意义（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第四册（人教B版）

10.1.2　复数的几何意义 [学习任务] 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系. 2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念. 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法. [对应学生用书第23页] 知识点一　复数的几何意义 1.复平面 2.共轭复数 （1）定义：一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数. （2）表示：复数z的共轭复数用表示，因此，当z＝a＋bi（a，b∈R）时，有＝a－bi. 3.复数的几何意义 （1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）复平面内的点Z（a，b）. （2）复数z＝a＋bi（a，b∈R）复平面内的向量＝（a，b）. 　[思考]　实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，正确吗？ [提示]　不正确.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为（0，0），它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数. 知识点二　复数的模 1.定义：一般地，向量＝（a，b）的长度称为复数z＝a＋bi的模（或绝对值）. 2.表示：复数z＝a＋bi的模用｜z｜或｜a＋bi｜表示. 3.公式：｜z｜＝｜a＋bi｜＝. 当b＝0时，｜z｜＝＝｜a｜. 　判断正误（正确的画“􀳫”，错误的画“×”）. （1）复数的模一定是正实数. （×） （2）若｜z1｜＝｜z2｜，则z1＝z2. （×） （3）两个复数互为共轭复数，则它们的模相等. （􀳫） [对应学生用书第23页] 探究一　复数与复平面内的点 [例1]　实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋（x2－2x－15）i的点Z满足下列条件？ （1）位于第三象限； （2）位于第四象限； （3）位于直线x－y－3＝0上. [解]　因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数. （1）当实数x满足即－3＜x＜2时，点Z位于第三象限. （2）当实数x满足即2＜x＜5时，点Z位于第四象限. （3）当实数x满足（x2＋x－6）－（x2－2x－15）－3＝0， 即3x＋6＝0，x＝－2时，点Z位于直线x－y－3＝0上. 　　利用复数与点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，是解决此类问题的根据. （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解. 1.实数m取什么值时，复数z＝（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－15）i. （1）对应的点在x轴上方； （2）对应的点在直线x＋y＋4＝0上. 解　（1）由m2－2m－15＞0，得m＜－3或m＞5， 所以当m＜－3或m＞5时，复数z对应的点在x轴上方. （2）由（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－15）＋4＝0，即2m2＋3m－5＝0， 得m＝1或m＝－，所以当m＝1或m＝－时， 复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上. 探究二　复数与复平面内向量的关系 [例2]　在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i. （1）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数； （2）如果（1）中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数. [解]　（1）设向量对应的复数为 z1＝x1＋y1i（x1，y1∈R），则点B的坐标为（x1，y1）. 由题意可知，点A的坐标为（2，1）. 根据对称性可知x1＝2，y1＝－1，故z1＝2－i. （2）设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i（x2，y2∈R），则点C的坐标为（x2，y2）. 由对称性可知x2＝－2，y2＝－1，故z2＝－2－i. 　　复数与复平面内的向量的对应关系 （1）根据复数与复平面内的向量的对应关系，可知当复平面内的向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量. （2）解决复数与复平面内的向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 2.已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是 （　　） A.－5＋5i B.5－5i C.5＋5i D.－5－5i 解析　向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，根据复数的几何意义，可得向量＝（2，－3），＝（－3，2）.由向量减法的坐标运算可得向量＝－＝（2＋3，－3－2）＝（5，－5），根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i. 答案　B 探究三　复数的模及其应用 [例3]　设复数z1＝3＋4i在复平面内对应的点为Z1，对应的向量为；复数z2在复平面内对应的点为Z2，对应的向量为.已知