10.1.1 复数的概念（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第四册（人教B版）

第十章　复数 10.1　复数及其几何意义 10.1.1　复数的概念 [学习任务] 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩充到复数集出现的一些基本概念. 3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件. [对应学生用书第20页] 知识点一　复数的有关概念 1.复数 （1）定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数.其中i称为虚数单位，满足i2＝－1. （2）表示方法：复数一般用小写字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re（z）＝a，Im（z）＝b. 2.复数集 （1）定义：所有复数组成的集合称为复数集. （2）表示：通常用大写字母C表示，因此C＝{z｜z＝a＋bi，a，b∈R}. 1.以－＋2i的虚部为实部，以＋2i2的实部为虚部的复数是 （　　） A.2－2i B.2＋2i C.－＋ D.＋ 解析　－＋2i的虚部为2，＋2i2＝－2＋，其实部为－2，故所求复数为2－2i. 答案　A 知识点二　复数的分类 1.复数z＝a＋bi（a，b∈R） 2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 2.在2＋，，0，8＋5i，（1－）i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为 （　　） A.0 B.1 C.2 D.3 解析　，（1－）i是纯虚数，2＋，0，0.618是实数，8＋5i是虚数. 答案　C 知识点三　复数相等的充要条件 　如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.特别地，当a，b都是实数时，a＋bi＝0的充要条件是a＝0且b＝0. 3.若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi等于 （　　） A.－2＋i B.2＋i C.1－2i D.1＋2i 解析　由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意，得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件，得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i. 答案　B [对应学生用书第21页] 探究一　复数的概念 [例1]　请写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数、虚数，还是纯虚数. ①2＋3i；②－3＋；③＋i；④π；⑤－；⑥0. [解]　①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为，是虚数；③的实部为，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数. 　　复数a＋bi（a，b∈R）中，实数a和b分别称为复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号称为复数的虚部. 1.（多选）对于复数a＋bi（a，b∈R），下列说法正确的是 （　　） A.若a＝0，则a＋bi为纯虚数 B.若a＋（b－1）i＝3－2i，则a＝3，b＝－1 C.若b＝0，则a＋bi为实数 D.i的平方等于－1 解析　对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；对于B，若a＋（b－1）i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；易知C正确；对于D，i的平方为－1. 答案　BCD 探究二　复数相等的充要条件及应用 [例2]　（1）若5－12i＝xi＋y（x，y∈R），则x＝　　　　，y＝　　　　.  [解析]　（1）由复数相等的充要条件可知x＝－12，y＝5. [答案]　－12　5 （2）已知（2x－1）＋i＝y－（3－y）i，其中x，y∈R，i为虚数单位.求实数x，y的值. [解]　根据复数相等的充要条件， 由（2x－1）＋i＝y－（3－y）i， 得解得即x＝，y＝4. 　　解决复数相等问题的步骤 （1）等号两侧都写成复数的代数形式； （2）根据两个复数相等的充要条件列出方程（组）； （3）解方程（组）. 2.已知（2x＋8y）＋（x－6y）i＝14－13i，求实数x，y的值. 解　由复数相等的充要条件，得 解得 探究三　复数的分类 [例3]　实数m分别为何值时，复数z＝＋（m2－3m－18）i是： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数. [解]　（1）若复数是实数，则 即得m＝6. （2）若复数是虚数，则 即则m≠－3且m≠6. （3）若复数是纯虚数，则 则即m＝1或m＝－. 　　解决复数分类问题的方法与步骤 （1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部. （2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可. （3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R）， ①z为实数⇔b＝0. ②z为虚数⇔b≠0. ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 3.（2022·金华高一月考）m为何实数时，复数z＝（1＋i）m2＋（2i＋1）m－2－3i是： （1）实数； （2）虚数；