11.4.1 直线与平面垂直（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第四册（人教B版）

11.4　空间中的垂直关系 11.4.1　直线与平面垂直 [学习任务] 1.理解并掌握异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角. 2.理解直线与平面垂直的定义及性质. 3.掌握直线与平面垂直的判定定理及推论，并会利用定理及推论解决相关的问题. [对应学生用书第70页] 知识点一　异面直线所成的角 1.定义：一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a'，b'，则a'与b'所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小. 2.范围：0°＜θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 1.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）异面直线所成角的大小与点O的位置有关，即点O的位置不同时，这一角的大小也不同. （×） （2）异面直线所成的角可以是0°. （×） （3）两条平行直线中的一条与直线a是异面直线，那么另一条与直线a也是异面直线. （×） 知识点二　直线与平面垂直的判定定理 及推论 定 理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直 符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 图形语言 推 论 文字语言 如果两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面 符号语言 l⊥α，m∥l⇒m⊥α 图形语言 2.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）若直线l与平面α内的两条直线垂直，则直线l⊥α. （×） （2）若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l⊥α. （×） （3）若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也和这个平面垂直. （√） 知识点三　直线与平面垂直的性质定理 文字语言 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 符号语言 ⇒a∥b 图形语言 3判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）垂直于同一条直线的两个平面平行. （√） （2）到已知平面距离相等的两条直线平行. （×） （3）如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线. （√） 知识点四　直线与平面所成的角 对应图形 直线与平面 所成的角 ∠PAO称为直线PA与平面α所成的角 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90° 4.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）直线与平面所成角为α，则0°＜α≤90°. （×） （2）若直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内的所有直线所成的角均为90°. （√） （3）若直线l与平面α所成的角均为0°，则直线l∥平面α. （×） [对应学生用书第72页] 探究一　求异面直线所成的角 [例1]　（1）（2022·济南高一期末）如图，已知棱长都为4的四棱锥P －ABCD，底面ABCD是菱形，E为AD的中点，∠BAD＝60°，则异面直线PC与BE所成角的余弦值为 （　　） A. B. C. D. [解析]　如图所示， 分别取BC，PB的中点F，G，连接DF，FG，DG.因为E为AD的中点，四边形ABCD是菱形，所以DF∥BE，FG∥PC，所以∠DFG是异面直线PC与BE所成的角或其补角. 因为四棱锥P－ABCD的棱长都为4，∠BAD＝60°，所以DF＝BE＝2，FG＝2，DG＝4×＝2，所以cos∠DFG＝＝＝，所以异面直线PC与BE所成角的余弦值为，故选B. [答案]　B （2）（2022·重庆高一期末）如图所示，已知空间四边形ABCD，AC与BD所成角为60°，且AC＝BD＝2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF＝ （　　） A.1 B. C.1或 D.2或 [解析]　 如图，取CD的中点G，连接EG，FG.由题可知，EG∥BD，FG∥AC，EG＝BD＝1，FG＝AC＝1.∵AC与BD所成的角为，∴∠FGE＝或∠FGE＝π－＝.当∠FGE＝时，△FGE为等边三角形，∴EF＝1；当∠FGE＝时，由余弦定理可知，EF2＝EG2＋GF2－2EG·GFcos∠FGE＝1＋1－2×1×1×＝3，∴EF＝.综上，EF＝1或EF＝，故选C. [答案]　C 　　求两条异面直线所成角的三个步骤 （1）作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角. （2）证：证明作出的角就是要求的角. （3）计算：求角的值，常利用解三角形得出. 可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°. 1.（2022·佛山高一期末）如图，在长方体ABCD －A1B1C1D1中，若AB＝BC＝1，BB1＝2，则异面直线A1B和AD1所成角的余弦值为 （　　） A. B. C. D. 解析　连接BC1，A1C1.如图所示，