11.3.3 平面与平面平行（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第四册（人教B版）

11.3.3　平面与平面平行 [学习任务] 1.掌握空间中面面平行的判定定理及性质定理. 2.能够应用面面平行的判定定理及性质定理解决问题. [对应学生用书第66页] 知识点一　平面与平面平行的判定 判定定理 推论 文字 语言 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行 符号 语言 l⊂α，m⊂α，l∩m≠⌀，l∥β，m∥β⇒α∥β a∥c，b∥d，a∩b＝A，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β⇒α∥β 图形 语言 1.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行. （×） （2）若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行. （√） （3）若一个平面内的无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行. （×） 知识点二　平面与平面平行的性质 性质定理 推论 文字 语言 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行 两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例 符号 语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b α∥β∥γ，m∩α＝A，m∩β＝B，m∩γ＝C，n∩α＝E，n∩β＝F，n∩γ＝G⇒＝ 图形 语言 2.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）若平面α∥平面β，l⊂平面β，m⊂平面α，则l∥m. （×） （2）已知两个平面平行，若有第三个平面与其中的一个平面平行，那么它与另一平面也平行. （√） （3）夹在两个平行平面间的线段长度相等. （×） [对应学生用书第67页] 探究一　平面与平面平行的判定 [例1]　如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是边A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点.求证： （1）E，F，B，D四点共面； （2）平面MAN∥平面EFDB. [证明]　（1）连接B1D1. ∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，∴EF∥B1D1. 而BD∥B1D1，∴BD∥EF. ∴E，F，B，D四点共面. （2）连接MF.∵M，F分别是边A1B1，C1D1的中点， ∴MF∥A1D1，MF＝A1D1. ∴MF∥AD，MF＝AD. ∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF. 又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE， ∴AM∥平面BDFE.同理AN∥平面BDFE. 又AM∩AN＝A， ∴平面MAN∥平面EFDB. 　　判定平面与平面平行的四种常用方法 （1）定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法. （2）利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线. （3）转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条直线分别平行，则α∥β. （4）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 1.如图所示，已知四棱锥P －ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点. 求证：平面AFH∥平面PCE. 证明　因为F，H分别为CD，PD的中点， 所以FH∥PC. 因为PC⊂平面PCE，FH⊄平面PCE， 所以FH∥平面PCE. 又由已知得AE∥CF，且AE＝CF， 所以四边形AECF为平行四边形， 所以AF∥CE.而CE⊂平面PCE，AF⊄平面PCE， 所以AF∥平面PCE. 又FH⊂平面AFH，AF⊂平面AFH，FH∩AF＝F， 所以平面AFH∥平面PCE. 探究二　平面与平面平行的性质及应用 [例2]　如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于B，A和D，C，M，N分别是AB，CD的中点.求证：MN∥平面α. [证明]　 过A作AE∥CD交平面α于点E，取AE的中点P， 连接MP，PN，BE，ED，AC. ∵AE∥CD， ∴AE，CD确定平面AEDC. 则平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC. ∵α∥β，∴AC∥DE. 又P，N分别为AE，CD的中点， ∴PN∥DE.∵PN⊄α，DE⊂α，∴PN∥α. 又M，P分别为AB，AE的中点， ∴MP∥BE.又MP⊄α，BE⊂α， ∴MP∥α.∵MP，PN⊂平面MPN，且MP∩PN＝P， ∴平面MPN∥α. 又MN⊂平面MPN，∴MN∥平面α. 　　利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤 （1）先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条. （2）判定这两个平面平行（此条件有时题目会直接给出）. （3）再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上. （4）由定理得出结论.