11.3.1 平行直线与异面直线（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第四册（人教B版）

11.3　空间中的平行关系 11.3.1　平行直线与异面直线 [学习任务] 1.掌握空间中两条直线的位置关系. 2.理解并掌握空间平行线的传递性及等角定理. [对应学生用书第60页] 知识点一　空间两直线的位置关系 1.平行直线的定义 在同一平面内不相交的两条直线称为平行直线. 2.异面直线的定义 （1）定义：空间中既不平行也不相交的直线. （2）异面直线的画法（衬托平面法） 如图①②③所示，为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托. （3）判断两直线为异面直线的方法 ①定义法；②与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面. 3.空间两条直线的三种位置关系 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线. （×） （2）没有公共点的两条直线是异面直线. （×） （3）若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线. （×） 知识点二　空间平行线的传递性与等角定理 1. 平行线的传递性 文字语言 平行于同一条直线的两条直线互相平行 图形语言 符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c 作用 证明两条直线平行 2.等角定理 （1）定理 文字语言 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等 符号语言 OA∥O'A'，OB∥O'B'⇒∠AOB＝∠A'O'B' 图形语言 作用 判断或证明两个角相等 （2）推广 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. 1.不在同一个平面内的两个三角形的三组对应边分别平行，则这两个三角形 （　　） A.一定是全等三角形 B.一定是相似但不全等的三角形 C.一定是相似或全等的三角形 D.可能不全等或相似 解析　根据等角定理可知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以这两个三角形一定相似或全等. 答案　C 2.已知∠ABC两边所在直线与∠A1B1C1两边所在直线分别平行，若∠ABC＝70°，则∠A1B1C1＝ （　　） A.70° B.70°或110° C.110° D.70°或20° 解析　当∠ABC的两边与∠A1B1C1的两边的方向都相同或都相反时，∠A1B1C1＝∠ABC＝70°；当∠ABC的两边与∠A1B1C1的两边的方向是一个相同，一个相反时，∠A1B1C1＝180°－∠ABC＝110°，故选B. 答案　B 知识点三　空间四边形 　顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形，其中4个点都是空间四边形的顶点，连接相邻顶点间的线段称为空间四边形的边，连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线.空间四边形用表示顶点的4个字母表示. [对应学生用书第61页] 探究一　异面直线的判定 [例1]　如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A1B与直线D1C的位置关系是　　　　；  ②直线A1B与直线B1C的位置关系是　　　　；  ③直线D1D与直线D1C的位置关系是　　　　；  ④直线AB与直线B1C的位置关系是　　　　.  [解析]　直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”；点A1，B，B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面.同理，直线AB与直线B1C异面.所以②④应该填“异面”. [答案]　①平行　②异面　③相交　④异面 　　判定两条直线是异面直线的方法 （1）定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内. （2）重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线（如图）. 1.三棱锥的6条棱中，异面直线有 （　　） A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 解析　考虑三棱锥A－BCD，可得直线AB与直线CD、直线AC与直线BD、直线AD与直线BC均为异面直线，共三对. 答案　B 2.如图，在过正方体ABCD －A1B1C1D1的任意两个顶点的所有直线中，与直线AC1异面的直线的条数为　　　　.  解析　由题中正方体可得与AC1异面的直线有A1B1，A1D1，BB1，DD1，BC，CD，A1D，B1C，A1B，CD1，BD，B1D1，共12条. 答案　12 探究二　空间平行直线传递性的应用 [例2]　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形. [证明]　在△PAB中，因为E，F分别是PA，PB的中点，