第9章 解三角形 章末优化提升（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第四册（人教B版）

[对应学生用书第16页] 考点一　利用正、余弦定理解三角形 [例1]　在①acos B－b＝c；②a2－b2＝c（b＋c）这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答. 问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知　　　　 　.  （1）求角A； （2）若sin B＝3sin C，a＝，求△ABC的周长. [解]　（1）选择①： 由正弦定理，得sin Acos B－sin B＝sin C， ∴sin Acos B－sin B＝sin Acos B＋cos Asin B. 又sin B≠0，∴cos A＝－.又A∈（0，π），∴A＝. 选择②： 由余弦定理，得 cos A＝＝＝－. 又A∈（0，π），∴A＝. （2）由正弦定理，得b＝3c，由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos A， 即13＝9c2＋c2＋3c2， ∴c＝1，∴b＝3， 故周长为4＋. 　　正弦、余弦定理应用需注意的三个方面 （1）正弦定理和余弦定理揭示了三角形边角之间的关系，解题时要根据题目条件恰当地实现边角的统一. （2）统一为“角”后，要注意正确利用三角恒等变换及诱导公式进行变形；统一为“边”后，要注意正确利用配方、因式分解等代数变换方法进行变形. （3）求值时注意方程思想的运用. 1.在△ABC内，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcos A－ccos B＝（c－a）cos B. （1）求角B的值； （2）若△ABC的面积为3，b＝，求a＋c的值. 解　（1）∵bcos A－ccos B＝（c－a）cos B， ∴由正弦定理，得sin Bcos A－sin Ccos B＝（sin C－sin A）cos B， ∴sin Acos B＋cos Asin B＝2sin Ccos B， ∴sin（A＋B）＝2sin Ccos B.又A＋B＋C＝π， ∴sin（A＋B）＝sin C. 又0＜C＜π，∴sin C≠0，∴cos B＝.又B∈（0，π），∴B＝. （2）据（1）求解知B＝，∴b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac. ① 又S△ABC＝acsin B＝3，∴ac＝12. ② 又b＝，∴据①②解得a＋c＝7. 考点二　判断三角形的形状 [例2]　在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边. （1）已知a＝1，A＝60°，c＝，求C； （2）已知c＝2acos B，试判断△ABC的形状. [解]　（1）在△ABC中，由正弦定理＝，得 ＝，即sin C＝. 因为a＞c，所以A＞C，所以0＜C＜，C＝. （2）由余弦定理cos B＝，得 c＝2a·＝， 所以a2＝b2，即a＝b. 所以△ABC是等腰三角形. 　　利用正弦、余弦定理判断三角形形状的方法 （1）通过边之间的关系判断形状. （2）通过角之间的关系判断形状. 合理利用正弦、余弦定理将已知条件中的边、角互化，把条件统一为边的关系或角的关系. 2.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边. （1）若△ABC面积S△ABC＝，c＝2，A＝60°，求a，b的值； （2）若a＝ccos B，且b＝csin A，试判断△ABC的形状. 解　（1）在△ABC中，因为S△ABC＝bcsin A＝， 所以b·2sin 60°＝，得b＝1. 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，所以a＝. （2）因为a＝ccos B，由余弦定理，得 a＝c·⇒a2＋b2＝c2， 所以C＝90°. 在Rt△ABC中，sin A＝，因为b＝csin A， 所以b＝c·＝a. 所以△ABC是等腰直角三角形. 考点三　正、余弦定理在实际问题中的应用 [例3]　如图，线段CD是某铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上的山体外取点A，B，在四边形ABCD中，测得AB＝50米，∠BAC＝45°，∠DAC＝75°，∠ABD＝30°，∠DBC＝75°. （1）试求B，D之间的距离及B，C之间的距离； （2）求应开凿的隧道CD的长. [解]　（1）在△DAB中，∠DAB＝75°＋45°＝120°， ∠ADB＝180°－（120°＋30°）＝30°，AB＝50， 由正弦定理，得＝， ∴BD＝＝＝50 米. 在△ABC中，∠ABC＝30°＋75°＝105°， ∠BCA＝180°－（45°＋105°）＝30°，AB＝50， 由正弦定理，得BC＝＝＝50 米. （2）在△DBC中，由余弦定理，得 DC＝ ＝ ＝25（＋）. 所以应开凿的隧道CD的长为25（＋）米. 　　一般地，求解此类问题的关键是明确边角关系，构造或选取恰当的三角形，使得边角之间的关系归纳在一个或几个三角形中，以便于求解.解题时需注意的两个问