9.2 第2课时 解三角形在实际测量中的应用（二）（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第四册（人教B版）

第2课时　解三角形在实际测量中的应用（二） [学习任务] 1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中的测量角度问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理解决几何图形中的长度、角度及面积问题. 3.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力. [对应学生用书第13页] 知识点一　角度问题 　测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解. 1.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的 （　　） A.北偏西5° B.北偏西10° C.南偏东5° D.北偏西20° 解析　由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10°. 答案　B 知识点二　三角形面积公式及推广 1.S＝aha（ha表示a边上的高）. 2.S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 3.三角形面积公式的其他形式： （1）S△ABC＝，其中R为△ABC的外接圆半径. （2）S△ABC＝2R2sin Asin Bsin C，其中R为△ABC的外接圆半径. （3）S△ABC＝（a＋b＋c）r，其中r为△ABC的内切圆半径. （4）S△ABC＝，其中p＝. 2.在△ABC中，a＝2，b＝，C＝30°，则△ABC的面积是 （　　） A. B. C. D. 解析　根据三角形的面积公式，得S＝absin C＝×2××sin 30°＝. 答案　B [对应学生用书第13页] 探究一　测量角度问题 [例1]　如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（－1）n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？ [解]　设缉私船用t h在D处追上走私船， 则有CD＝10t，BD＝10t. 在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°， ∴由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos ∠BAC＝ （－1）2＋22－2（－1）×2cos 120°＝6， ∴BC＝，且sin∠ABC＝sin ∠BAC＝×＝. ∴∠ABC＝45°. ∴BC与正北方向垂直. ∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCD＝＝＝， ∴∠BCD＝30°. 即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船. 　　解决追及问题的步骤 （1）把实际问题转化为数学问题； （2）画出表示实际问题的图形，并在图中标出有关的角和距离，这样借助于正弦定理或余弦定理就容易解决问题了； （3）最后把数学问题还原到实际问题中去. 1.某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼 叫信号，如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10 海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间. [解]　设护航舰靠近货船所用时间为t小时， 在△ABC中，根据余弦定理有 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°， 可得（10t）2＝102＋（10t）2－2×10×10tcos 120°， 整理，得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－（舍去）， 所以护航舰靠近货船需要1小时. 此时AB＝10海里，BC＝10海里. 又AC＝10海里，所以∠CAB＝30°， 所以护航舰航行的方位角为75°. 探究二　平面图形中的线段长度问题 [例2]　在平面四边形ABCD中，E为AB上一点，连接CE，DE，已知AE＝4BE，AE＝4，CE＝，若∠A＝∠B＝∠CED＝π. （1）求△BCE的面积； （2）求CD的长. [解]　（1）已知AE＝4BE，AE＝4，则BE＝1. 在△BCE中，由余弦定理可得 CE2＝BC2＋BE2－2BC·BEcos B， 代入可得7＝BC2＋1－2BC×1×cos ，解得BC＝2（负值舍去）， 由三角形面积公式可得 S△BCE＝BC·BEsin B＝×2×1×＝. （2）因为∠A＝∠B＝∠CED＝π， 所以∠BCE＋∠CEB＝∠AED＋∠CEB＝， 则∠BCE＝∠AED. 因为∠A＝∠B，所以△B