9.2 第1课时 解三角形在实际测量中的应用（一）（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第四册（人教B版）

9.2　正弦定理与余弦定理的应用 第1课时　解三角形在实际测量中的应用（一） [学习任务] 1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点的距离、高度的测量问题. 2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力. [对应学生用书第9页] 知识点一　实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°） 方位角 从正北方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 1.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为 （　　） A.α＞β B.α＝β C.α＋β＝90° D.α＋β＝180° 解析　根据题意和仰角、俯角的概念画出草图如图所示. 知α＝β，故选B. 答案　B 知识点二　距离问题 类型 图形 方法 两点（两点均可到达）间不可到达（或不可视）的距离 余弦 定理 两点（有一点可到达）间可视不可到达的距离 正弦定理 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理 2.一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 （　　） A. 海里/小时 B.34 海里/小时 C. 海里/小时 D.34 海里/小时 解析　如图所示，在△PMN中，＝， ∴MN＝＝34， ∴v＝＝ （海里/小时）. 答案　A 知识点三　高度问题 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝atan C 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD的长度及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C，D不共线 测得CD的长度及∠BCD，∠BDC， ∠ACB的度数. 在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 3.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10 m，并在C处测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB＝ （　　） A.30 m B.20 m C.30 m D.20 m 解析　在△BCD中，∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10 m，由正弦定理＝，得＝，得CB＝20×＝20.在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，所以塔高AB＝BC＝20 m. 答案　D [对应学生用书第10页] 探究一　测量距离问题 [例1]（1）如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120米，则河的宽度为　　　　米.  [解析]　∠ACB＝180°－45°－75°＝60°，在△ABC中，＝，∴BC＝120·＝，河宽为BCsin∠CBA＝sin 75°＝20（＋3）米. [答案]　20（＋3） （2）如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，其方法为测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB. 若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离. [解]　∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°， ∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝. 在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得 BC＝·sin∠BDC＝·sin 30°＝. 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45° ＝＋－2×××＝， ∴AB＝ . ∴A，B两点间的距离为 km. 　　三角形中与距离有关的问题的求解策略 （1）测量一个可达点到另一个不可达点之间的距离，即所求的线段在一个三角形中，直接利用正弦、余弦定理求解. （2）测量两个不可达点之间的距离，即所求线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正弦、余弦定理求解. 1.海上有A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是 （　　） A.10 海里 B. 海里 C.5 海里 D.5 海里 解析　如题图，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10，由正弦定理，得＝，∴BC＝5，故选D. 答案　D 2.如图所示，A，B两点在