9.1.2 余弦定理（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第四册（人教B版）

9.1.2　余弦定理 [学习任务] 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 3.能利用余弦定理解决有关三角形的恒等化简、证明及形状判断等问题. [对应学生用书第5页] 知识点　余弦定理 1.余弦定理 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 余弦 定理 语言 叙述 三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍 公式 表达 a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B c2＝a2＋b2－2abcos C 可改 写为 cos A＝ cos B＝ cos C＝ 2.余弦定理可以用于两类解三角形问题 （1）已知三角形的两边和一角，求三角形的第三边和其他两个角. （2）已知三角形的三边，求三角形的三个角. 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一. （×） （2）在△ABC中，三边一角随便给出三个，可求其余一个. （√） （3）在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，则角C为直角. （√） （4）在△ABC中，若a2＋b2－c2＞0，则角C为钝角. （×） [对应学生用书第5页] 探究一　已知三角形的三边解三角形 [例1]　在△ABC中， （1）a＝3，b＝4，c＝，求最大角； （2）a∶b∶c＝1∶∶2，求A，B，C的大小. [解]　（1）由c＞b＞a知，C最大. ∵cos C＝＝＝－，又0°＜C＜180°，∴C＝120°. （2）∵a∶b∶c＝1∶∶2， ∴设a＝x，则b＝x，c＝2x（x＞0）. 由余弦定理，得cos A＝＝＝，0°＜A＜180°，∴A＝30°. 同理得cos B＝，cos C＝0，∴B＝60°，C＝90°. 　　已知三角形的三边解三角形的方法 先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. 1.在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和另外两角的余弦值. 解　∵a＞c＞b，∴A为最大角， 由余弦定理，得cos A＝＝＝－. 又∵0°＜A＜180°，∴A＝120°. cos B＝＝＝； cos C＝＝＝. 探究二　已知三角形的两边及其夹角解三角形 [例2]　（1）在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a； （2）在△ABC中，已知AC＝，AB＝3，A＝45°， 求BC. [解]　（1）由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋（2）2－2×3×2cos 30°＝3， 所以a＝. （2）在△ABC中，已知AC＝，AB＝3，A＝45°， 由余弦定理，得BC＝＝＝，所以BC＝. 　　已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法 先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理（已知两边和一边的对角）求解. 若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题[在（0，π）上，余弦值所对角的值是唯一的]，故用余弦定理求解较好. 2.在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求A. 解　由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝8－4， 所以c＝－. 由正弦定理，得sin A＝＝. 因为b＞a，所以B＞A， 所以A为锐角，所以A＝30°. 探究三　已知三角形的两边及其中一边的 对角解三角形 [例3]　在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求A，C，a. [解]　方法一　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得32＝a2＋（3）2－2a×3×cos 30°， ∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6. 当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°； 当a＝6时，由正弦定理，得sin A＝＝＝1. ∴A＝90°，∴C＝60°. 方法二　由b＜c，B＝30°，b＞csin 30°＝3×＝知，本题有两解. 由正弦定理，得sin C＝＝＝， ∴C＝60°或120°. 当C＝60°时，A＝90°，△ABC为直角三角形. 由勾股定理，得a＝＝＝6； 当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3. 已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法 可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边（注意边的取舍），再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角（注意角的取舍），再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再利用正弦定理求出第三边. 3.已知在△ABC中，cos A＝，a＝4，b＝3，则c＝　　　　.  解析　A为b，c的夹角，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，∴16＝9＋c2－6