5.1.2数据的数字特征-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步知识梳理+常考题型（人教B版2019必修第二册)

5.1.2数据的数字特征 题型1 平均数相关考点 4 题型2 众数相关考点 10 题型3 中位数百分位数 13 题型4 极差、方差、标准差 17 ◆类型1 极差、方差、标准差的意义 17 ◆类型2 极差、方差、标准差的计算 21 ◆类型3 极差、方差、标准差的性质 23 ◆类型4 极差、方差、标准差的作用 25 题型5 最值相关考点 29 知识点一.最值 1.最值的定义∶一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值。 2.最值的特征∶最值反应的是这组数最极端的情况。 3.最值的表示∶一般地，最大值用max表示，最小值用min 表示。 知识点二.平均数 1. 平均数的定义∶如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为。 2.平均数的特征∶平均数用来刻画一组数据的平均水平（或中心位置）。 3. 平均数的表示∶,其中的符号""表示求和，读作“西格玛”，“ ”右边式子中的i表示求和的范围，其最小值与最大值分别写在“ ”的下面与上面。 4.性质：如果x1，x2，…，xn，的平均数为 ，且a，b为常数，则ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b. 注意：平均数会受每一个数的影响，尤其是最大值、最小值．很多情况下，为了避免过于极端的值对结果影响太大等，会去掉最小值与最大值后再计算平均数. 知识点三.中位数 定义：如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，则称xn+1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称为这组数的中位数. 注意∶ 优点∶①不受少数几个极端数据的影响。 ②易计算，便于利用中间数据的信息。 缺点：对极端值不敏感。 知识点四.百分位数 1.定义：一组数的p%（p∈（0，100））分位数指的是满足下列条件的一个数值∶至少有p%的数据不大于该值，且至少有（100- p）%的数据不小于该值.直观来说，一组数的p%分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于p%位置的数. 2.步骤：设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i=np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取Xi0为p%分位数；如果i是整数，取为p%分位数.特别地，规定∶0分位数是x（即最小值），100%分位数是xn（即最大值）. 注意：(1)中位数就是一个 50%分位数. (2)按照定义可知，p%分位数可能不唯一，也正因为如此，各种统计软件所得出的 p%分位数可能会有差异. （3）实际应用中，除了中位数外，经常使用的是 25%分位数（简称为第一四分位数）与75%分位数（简称为第三四分位数）. 知识点五.频数与众数： 1. 频数的概念∶一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数。 2.众数的概念∶一组数据中，出现次数最多的数据称为这组数据的众数。 注意：若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样，则这些数据都称为众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数。 注意：(1)众数不唯一，可以有一个，也可以有多个，还可以没有.如果有两个数据出现的次数 相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数. (2)众数一定是原数据中的数，百分位数和中位数都不一定是原数据中的数. 知识点六.极差、方差与标准差 1.极差 一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差.极差反映了一组数的变化范围. 不难看出，极差反映了一组数的变化范围，描述了这组数的离散程度. 注意： (1)极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感.一般情况下，极差大，则数据较分散，数据的波动性大；极差小，则数据相对集中，数据的波动性小， 极差的计算非常简单，但极差只考虑了两个极端值，而没有考虑中间的数据，因此很多时候， 极差作为数据的离散程度的统计量，可靠性较差. (2)极差的取值范围是[0，+∞）. 2.方差 （1）定义∶如果x1，x2，…，xn，的平均数为，则方差可用求和符号表示为 （2）性质∶如果a，b为常数（a=0），则ax1+b，ax2+b，...,axn+b的方差为a2s2. 3.标准差 （1）定义∶方差的算术平方根称为标准差.一般用s表示，即样本数据x1，x2，…，xn，的标准差为 （2）性质∶如果a，b为常数，则ax1+b，ax2+b，...,axn+b的标准差为|a|s （3）如果一组数中，各数据值都相等，则标准差为0，表明数据没有波动，数据没有离散性;若各数的值与平均数的差的绝对值较大，则标准差也较大，表明数据的波动幅度也较大，数据的离散程度较高，因此标准差（或方差）描述了数据相对于平均数的离散程度. 题型1 平均数相关考点 【方法总结】平均数与每一个样本数据都有关，受个别