1.5 全称量词与存在量词-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习课件PPT（人教A版）

1.5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 数学 学习目标 1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义,培养数学抽象 素养. 2.掌握判断全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法,加强逻辑推理 素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 情境导入 “哥德巴赫猜想”(每一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和)与“孪生素数猜想” (存在无穷多个素数p使得p+2也是素数)紧密相关.至今它们都还没有被证明.但是,现在对这两个问题的研究已经有了很大的进展.目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的,称为陈氏定理:“任意一个充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和,而后者仅仅是两个质数的乘积.”通常简称这个结果为大偶数,可表示为“1+2”的形式.目前看来,“1+1”这颗灿烂的“明珠”并非距我们“一步之遥”. 探究:(1)与文中短语“每一个”意义相同的短语有哪些? 答案:(1)“任意一个”“所有”等. (2)与文中短语“存在”意义相同的短语有哪些? 答案:(2)“有一个”“有些”等. 数学 全称量词 定义 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做全称量词 符号表示 . 全称量词命题 定义 含有 量词的命题,叫做全称量词命题 一般形式 对M中 x,p(x)成立 符号表示 ,p(x) 知识探究 1.全称量词与全称量词命题 所有的 任意一个 ∀ 全称 任意一个 ∀x∈M 数学 思考1:用上符号“∀”改写p(x)为一个真命题. (1)p(x):x>2; 提示:(1)∀x>3,x>2. (2)p(x):2x是偶数. 提示:(2)∀x∈Z,2x是偶数. 2.存在量词与存在量词命题 存在 量词 定义 短语“ ”“ ”在逻辑中通常叫做存在量词 符号表示 . 存在量 词命题 定义 含有 量词的命题,叫做存在量词命题 一般形式 M中的元素x,p(x)成立 符号表示 ,p(x) 存在一个 至少有一个 ∃ 存在 存在 ∃x∈M 数学 思考2:用上符号“∃”改写p(x)为一个真命题. (1)p(x):x2-2=0; 提示:(1)∃x∈R,x2-2=0. (2)p(x):x+2是整数; 提示:(2)∃x是整数,x+2是整数. 数学 师生互动·合作探究 探究点一 全称量词命题与存在量词命题的判定 [例1] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. (1)有一个实数a不能有平方根; 解:(1)含有存在量词“有一个”,所以命题(1)为存在量词命题. (2)所有不等式的解集A,都满足A⊆R; 解:(2)含有全称量词“所有”,所以(2)为全称量词命题. 数学 [例1] 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. (3)不相交的两条直线是平行直线; 解:(3)可以改写为“所有不相交的两条直线是平行直线”,因此是全称量词命题. (4)锐角三角形的内角是锐角或钝角; 解:(4)省略了“所有”,因此“锐角三角形的内角是锐角或钝角”是全称量词 命题. (5)负数的平方是正数. 解:(5)省略了全称量词“所有”或“都”,是全称量词命题. 数学 方法总结 (1)判断一个命题是否为全称量词命题或存在量词命题,关键看命题中是否含有全称量词或存在量词. (2)要注意有些全称量词命题并不含全称量词,这时要根据命题涉及的意义去添补量词再判断,对于同一个全称量词命题或存在量词命题的表述方法可能不同. 提醒:全称量词命题可能省略全称量词,存在量词命题的存在量词一般不能省略. 数学 针对训练1:判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. (1)任何一个实数除以1,仍等于这个数; 解:(1)命题中含有全称量词“任何一个”,故是全称量词命题. (2)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除; 解:(2)命题中含有存在量词“至少有一个”,是存在量词命题. (3)∀x∈R,(x+1)2≥0; 解:(3)命题中含有全称量词“∀”,是全称量词命题. 数学 针对训练1:判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. (4)∃x∈R,x2<2; 解:(4)命题中含有存在量词“∃”,是存在量词命题. (5)方程3x-2y=0有整数解. 解:(5)可改写为存在一对整数x,y,使3x-2y=0成立,是存在量词命题. 数学 探究点二 全称量词命题与存在量词命题真假的判定 [例2] 判断下列命题的真假. (1)∀x∈R,x2+1>0; 解:(1)由于∀x∈R,都有x2≥0,因而有x2+1≥1>0. 因此命题“∀x∈R,x2+1>0”是真