2.1 等式性质与不等式性质-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习课件PPT（人教A版）

第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质 数学 学习目标 1.通过用不等式(组)表示实际问题,培养数学抽象与数学建模素养. 2.通过作差法比较两个实数的大小、不等式性质的应用,发展逻辑推理、 数学运算素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 情境导入 在日常生活中,我们经常看到下列标志: 你知道各图中的标志有何作用?其含义是什么吗? 提示:①限制高度:装载高度h不得超过3.5 m; ②最低限速:限制行驶时速v不得低于50 km/h; ③限制质量:装载总质量M不得超过10 t; ④时间范围:t∈[7.5,10]; ⑤最高限速:限制行驶时速v不得高于60 km/h. 探究:你能用一个数学式子表示上述关系吗? 答案:①h≤3.5;②v≥50;③M≤10;④7.5≤t≤10;⑤v≤60. 数学 知识探究 1.不等关系与不等式 我们经常用 来研究含有不等关系的问题,常用的不等号有 . 2.两个实数大小关系的基本事实 对于任意的实数a,b,有以下基本事实: a>b⇔ ; a=b⇔ ; a<b⇔ . 3.重要不等式 一般地,∀a,b∈R,有a2+b2 2ab,当且仅当 时,等号成立. 不等式 >,<,≤,≥,≠ a-b>0 a-b=0 a-b<0 ≥ a=b 数学 4.等式的基本性质 性质1　如果a=b,那么b=a. 性质2　如果a=b,b=c,那么a=c. 性质3　如果a=b,那么a±c=b±c. 性质4　如果a=b,那么ac=bc. 数学 提示:C. 数学 5.不等式的基本性质 b<a a>c > > < > > an>bn 数学 提示:B. 数学 师生互动·合作探究 探究点一 用不等式(组)表示不等关系 [例1] 某汽车公司因发展需要,需购进一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车,根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式(组). 数学 方法总结 用不等式(组)表示不等关系的步骤: (1)审清题意,明确表示不等关系的关键词语:大于、小于、不大于、 不小于、至多、至少等. (2)适当地设未知数表示变量. (3)用不等号表示关键词语,并连接变量得不等式. 数学 针对训练1:某厂拟生产甲、乙两种适销产品,甲、乙产品都需要在A,B两台设备上加工,在A,B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时,加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时,A,B两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式(组). 数学 探究点二 作差法比较代数式的大小 [例2] 已知x>1,比较x3-1与2x2-2x的大小. 数学 方法总结 作差法比较两式大小的步骤 (1)作差:对要比较大小的两个式子作差. (2)变形:对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形. (3)判断符号:对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号. (4)作出结论. 数学 针对训练2:(1)比较x2+2x+6与2x2-4x+16的大小; 解:(1)由(2x2-4x+16)-(x2+2x+6)=x2-6x+10=(x-3)2+1>0, 得x2+2x+6<2x2-4x+16. (2)已知x>y>0,试比较x3-2y3与xy2-2x2y的大小. 解:(2)由题意,知(x3-2y3)-(xy2-2x2y)=x3-xy2+2x2y-2y3=x(x2-y2)+ 2y(x2-y2)=(x2-y2)(x+2y)=(x-y)(x+y)(x+2y), 因为x>y>0,所以x-y>0,x+y>0,x+2y>0, 所以(x3-2y3)-(xy2-2x2y)>0, 即x3-2y3>xy2-2x2y. 数学 探究点三 不等式基本性质的应用 类型一　利用不等式的基本性质判断不等式的真假 [例3] 若a>b>0,m<0,则下列不等式成立的是(　　) 数学 数学 方法总结 不等式的性质常与比较大小结合考查,此类问题一般结合不等式的性质,利用作差法或作商法求解,也可以用特殊值求解. 数学 针对训练3:下列命题正确的是(　　) 数学 数学 类型二　利用不等式的基本性质证明不等式 数学 数学 方法总结 利用不等式性质对不等式的证明,其实质就是利用性质对不等式进行变形,变形要等价,要善于寻找欲证不等式的已知条件,利用相应的不等式性质证明,利用性质时要注意性质适用的前提条件. 数学 数学 类型三　利用不等式基本性质求取值范围 [例5] 已知30<x<42,16<y<2