2.2 基本不等式-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习课件PPT（人教A版）

2.2　基本不等式 数学 学习目标 1.通过基本不等式及其几何解释的学习达成数学抽象和直观想象素养. 2.通过利用基本不等式求最大值或最小值发展逻辑推理和数学运算素养. 3.通过基本不等式的实际应用,提高数学建模和数学运算素养. 数学 第1课时　基本不等式 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 情境导入 《几何原本》中的几何代数法是用几何方法研究代数问题,这种方法是数学家处理问题的重要依据,很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.如图是我国古代数学家赵爽创作的弦图,弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形. 数学 知识探究 ≤ a=b 算术平均数 几何平均数 不小于 数学 ≥ 重合 a=b 数学 提示:既不充分也不必要. 2.基本不等式与最值 已知x,y都是正数, (1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最 值 .(简记:和定积最大) (2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最 值 .(简记:积定和最小) 思考2:若矩形的面积为100,则其周长的最小值为　　 　　;若矩形的周长为40,则矩形面积的最大值为　　　　.  提示:40,100. 大 小 数学 拓展总结 数学 师生互动·合作探究 探究点一 利用基本不等式求最值 类型一　直接利用基本不等式求最值 [例1] (1)已知0<x<1,求y=x(1-x)的最大值; 数学 数学 (3)已知两个正数m,n,满足mn=3,求m+3n的最小值; 数学 数学 方法总结 (2)二定:化不等式的一边为定值. (3)三相等:必须存在“=”的条件. 以上三点缺一不可. 数学 针对训练1:(1)已知0<x<1,求2x(3-2x)的最大值; 数学 数学 数学 类型二　凑定值后利用基本不等式求最值 数学 数学 方法总结 (1)使用基本不等式求一个式子的最值时,若所给式子不满足直接应用基本不等式的条件,可以利用“拼凑项”的方法变形后应用基本不等式 求解. (2)拼凑法求解最值,其实质就是先通过代数式变形,拼凑出和或积为常数的两项,然后利用基本不等式求解最值.拼凑后要保证各量满足基本不等式“一正,二定,三相等”的条件,尤其是要注意验证等号成立的条件. 数学 数学 数学 探究点二 应用基本不等式证明不等式 类型一　直接利用基本不等式证明 [例3] 已知a>0,b>0,c>0,证明以下不等式,并说明等号成立的条件: 数学 [例3] 已知a>0,b>0,c>0,证明以下不等式,并说明等号成立的条件: 数学 方法总结 利用基本不等式证明不等式的策略 从待证不等式及问题的已知条件出发,借助不等式的性质及有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向 “未知”. 一般地,若所证不等式一端出现“和式”,而另一端出现“积式”,这便是应用基本不等式的“题眼”,可尝试用基本不等式证明. 提醒:利用基本不等式证明不等式的注意点 (1)多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立. (2)累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用. (3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用. 数学 数学 数学 数学 方法总结 数学 数学 数学 学海拾贝 数学 数学 数学 1.已知正数a,b满足a2+b2=1,则ab的最大值为(　 　) 当堂检测 C 数学 2.已知x,y∈R,且x>0,y>0,x+y=2,那么xy的最大值为(　 　) C 数学 答案:5 数学 答案:b=3a 数学 备用例题 [例1] 数学里有一种证明方法叫做Proofs without words,也称之为无字证明,一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题,由于这种证明方法的特殊性,无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形,在等腰直角三角形△ABC中,点O为斜边AB的中点,点D为斜边AB上异于顶点的一个动点,设AD=a, BD=b,则该图形可以完成的无字证明为(　　) 数学 数学 数学 数学 数学 答案:16 数学 数学 答案:①③④ 数学 点击进入 课时训练·分层突破 数学 答案:斜边即大正方形的边长,为,大正方形面积为a+b,而大正方形面积大于等于四个直角三角形的面积和,即得a+b≥4× =2,当且仅当a=b时,取等号,所以不等式a+b≥2(a>0,b>0). 探究:若直角三角形的直角边长分别为 和 ,你能找出一个关于a和b的不等关系吗? 1.基本不等式 (1)如果a>0,b>0,有 ,当且仅当 时,等号成立.通常称这个不等式为基本不等式. (2)a>0,b>0时,叫做正数a,b的