3.3 幂函数-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习课件PPT（人教A版）

3.3　幂函数 数学 学习目标 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 1.幂函数 一般地,函数 叫做幂函数,其中 是自变量, 是常数. y=xα x α 提示:①⑥ 数学 2.常见幂函数的图象和性质 {x|x≠0} [0,+∞) [0,+∞) {y|y≠0} [0,+∞) 数学 奇偶性 函数 函数 函数 函数 . 函数 单调性 在(-∞,+∞)上单调 . 在(-∞,0]上单调 ,在(0,+∞)上单调 . 在(-∞, +∞)上单调 . 在(-∞,0)上单调 ,在(0,+∞)上单调 . 在[0,+∞)上单调 . 定点 . 奇 偶 奇 奇 非奇非偶 递增 递减 递增 递增 递减 递减 递增 (1,1) 数学 拓展总结 一般幂函数的图象与性质 当指数α=1时,y=x的图象是直线;当α=0时,y=x0=1是断直线(除点(0,1)),除此以外幂函数的图象都是曲线. 数学 数学 师生互动·合作探究 探究点一 幂函数的概念 解析:(1)由题意知,若f(x)为幂函数, 则m2+2m-2=1.即m2+2m-3=0,解得m=1或m=-3. 答案:(1)1或-3 答案:(2)2 数学 方法总结 幂函数解析式特征 (1)xα的系数是1. (2)xα的底数是自变量,指数α为常数. (3)项数只有一项. 数学 数学 探究点二 幂函数的图象 数学 方法总结 (1)幂函数的图象一定出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限内,图象最多只能同时出现在两个象限内,至于是否在第二或第三象限内出现要看幂函数的奇偶性. (2)幂函数y=xα的图象分布与幂指数α的关系具有如下规律:在直线x=1的右侧,按“逆时针”方向,图象所对应的幂指数依次增大(如图). (3)根据图象研究函数解析式时,应结合函数在第一象限的单调性确定y= xα中α的符号,根据图象的对称性,确定α是奇数还是偶数. 数学 针对训练2:图中C1,C2,C3为三个幂函数y=xα在第一象限内的图象,则解析式中指数α的值依次可以是(　　) 数学 探究点三 幂函数的性质 类型一　幂函数的单调性 [例3] 比较下列各组数的大小. 数学 [例3] 比较下列各组数的大小. 数学 方法总结 (1)根据幂函数性质比较大小,首先应明确幂函数单调性,y=xα中,若α>0,函数在(0,+∞)上单调递增.若α<0,则函数在(0,+∞)上单调递减. (2)利用幂函数性质比较大小 ①当幂的底数不同,指数相同时,可以利用幂函数的单调性比较大小; ②当幂的底数和指数都不相同时,一种方法是作商,通过商与1的大小关系确定两个幂值的大小;另一种方法是运用媒介法,即找到一个中间值,通过比较两个幂值与中间值的大小,从而确定两个幂值的大小,而中间值一般选取0或1. 数学 数学 类型二　幂函数性质的综合运用 [例4] (2021·江西上饶高一期中联考)已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm+1 (m∈R)为偶函数. (1)求f(x)的解析式; 解:(1)幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm+1(m∈R)为偶函数, 由题意知,m2-5m+7=1, 解得m=2或m=3. 当m=2时,m+1=3不符合题意,舍去; 当m=3时,m+1=4满足题意, 所以f(x)=x4. 数学 [例4] (2021·江西上饶高一期中联考)已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm+1 (m∈R)为偶函数. (2)若f(2a+1)>16,求实数a的取值范围. 数学 方法总结 (1)涉及幂函数的奇偶性问题,主要是根据y=xα中α是奇数还是偶数确定. (2)涉及具有奇偶性的幂函数的单调性综合应用问题,要结合奇偶函数单调性求解. 数学 (1)求m,k的值; 数学 (2)解不等式f(3x+2)>f(1-2x). 数学 当堂检测 B 1.已知幂函数f(x)的图象经过点(2,4),则f(-3)等于(　 　) A.-9 B.9 C.3 D.-3 解析:设f(x)=xα,则2α=4,α=2, 所以f(x)=x2, 所以f(-3)=(-3)2=9.故选B. 数学 BD 数学 A 解析:由题意,m2+3m+3=1, 所以m2+3m+2=0, 所以m=-1或m=-2, 当m=-1时,幂函数为y=x-4,图象不过原点,且关于y轴对称,不合题意; 当m=-2时,幂函数为y=x-3,图象不过原点,且关于原点对称,符合题意. 故选A. 数学 答案:(-∞,2) 4.幂函数f(x)=xn的图象过点(2,8),且f(a-1)<1,则a的取值范围是　　 .  解析:因为幂函数f