3.4 函数的应用（一）-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习课件PPT（人教A版）

3.4　函数的应用(一) 数学 学习目标 1.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具. 2.在实际情境中,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律,培养数学建模、数据分析和数学运算素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 1.一次函数模型 形如y=kx+b(k≠0)的函数模型是一次函数模型,一次函数的图象为直线,应用一次函数的性质,可以求参数值及函数解析式等. 2.二次函数模型 (1)形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数模型是二次函数模型. (2)二次函数模型是生活中最常见的一种数学模型,依据实际问题建立二次函数的解析式后,利用配方法求最值简单易懂,有时可以依据二次函数的单调性求最值,从而解决最大、最小等问题. 数学 3.分段函数模型 (1)分段函数模型 分段函数是指函数解析式由几段组成的函数,根据自变量取值范围的不同,由题设确定出不同的函数关系式. (2)分段函数模型的应用 ①分段函数模型应用的关键是确定分段的各边界点.即明确自变量的取值区间,对每一区间进行分类讨论,从而写出函数解析式,需注意分段函数的最值,是各区间上解析式取得的最大值或最小值. ②要注意结合实际问题的实际意义,有时还可结合图象去求解. 数学 师生互动·合作探究 探究点一 一次函数模型 [例1] 甲、乙两家农贸商店,平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾, “龙虾节”期间,甲、乙两家商店都让利酬宾,付款金额y甲,y乙(单位:元)与原价x(单位:元)之间的函数关系如图所示. (1)写出y甲,y乙关于x的函数关系式; 数学 数学 [例1] 甲、乙两家农贸商店,平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾, “龙虾节”期间,甲、乙两家商店都让利酬宾,付款金额y甲,y乙(单位:元)与原价x(单位:元)之间的函数关系如图所示. (2)“龙虾节”期间,如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱? 数学 解:(2)当0<x<2 000时,0.8x<x,到甲商店购买更省钱;当x≥2 000时,若到甲商店购买更省钱,则0.8x<0.7x+600,解得x<6 000;若到乙商店购买更省钱,则0.8x>0.7x+600,解得x>6 000;若到甲、乙两商店购买花钱一样,则0.8x=0.7x+600,解得x=6 000;故当购买金额按原价小于6 000元时,到甲商店购买更省钱;当购买金额按原价大于6 000元时,到乙商店购买更省钱;当购买金额按原价等于6 000元时,到甲、乙两商店购买花钱一样. 数学 方法总结 建立一次函数模型,常设为y=kx+b(k≠0),然后用待定系数法求出k,b的值,再根据单调性求最值或利用方程、不等式思想解题. 数学 针对训练1:某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李.若超过规定的质量,则需购买行李票,行李费用y(单位:元)是行李质量x(单位:kg)的一次函数,其图象如图所示. (1)根据图象数据,求y与x之间的函数关系式; 数学 针对训练1:某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李.若超过规定的质量,则需购买行李票,行李费用y(单位:元)是行李质量x(单位:kg)的一次函数,其图象如图所示. (2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少? 解:(2)根据题意,当y=0时,0≤x≤30. 所以旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg. 数学 探究点二 二次函数模型 [例2] 某农家旅游公司有客房160间,每间房单价为200元时,每天都客满.已知每间房单价每提高20元,则客房出租数就会减少10间,若不考虑其他因素,旅游公司把每间房单价提到多少时,每天客房的租金总收入最高? 解:设每间房单价提高x个20元时,每天客房的租金总收入为y元. 此时每间房单价为(200+20x)元,而客房出租数将减少10x间,即为(160-10x)间,因此 y=(200+20x)(160-10x)=200(10+x)(16-x) =200(-x2+6x+160)=200[-(x-3)2+169]=-200(x-3)2+33 800. 从而可知,当x=3时,y的最大值为33 800. 因此每间房单价提到200+20×3=260元时,每天客房的租金总收入最高. 数学 方法总结 (1)二次函数与二次方程之间有密切的关系,解题时要注意题目中的约束 条件. (2)求解二次函数问题应注意二次函数图象的对称性与单调性. (3)解决实际生活中用料最省、利润最大等问题时,一般建立二次函数模型,还需掌握一些常见的关系式,如利润=(商品销售单价-商品成本单价)×销售量等. 数学 针对训练2:某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于80元/件.经试销调查,发现销售量y(单位