4.3 对数-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习课件PPT（人教A版）

4.3　对　数 数学 学习目标 1.通过指数式定义对数,理解对数的概念和基本性质,知道自然对数和常用对数,培养数学抽象素养. 2.掌握指数式与对数式的互化,理解对数的运算性质和换底公式,能进行对数式的化简求值和证明,培养逻辑推理和数学运算素养. 数学 4.3.1　对数的概念 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 情境导入 对数的概念,首先是由苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier,1550—1617)提出的.那时候天文学是热门学科.可是由于数学的局限性,天文学家不得不花费很大精力去计算那些繁杂的“天文数字”,浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.纳皮尔也是一位天文爱好者,他感到,“没有什么会比数学的演算更加令人烦恼……诸如一些大数的乘、除、平方、立方、开方……因此我开始考虑……怎样才能排除这些障碍.”经过20年潜心研究大数的计算技术,他终于独立发明了对数,并于1614年出版的名著《奇妙的对数定律说明书》中阐明了对数原理,后人称为纳皮尔对数. 探究:纳皮尔发明对数的主要作用是什么? 答案:简化运算. 数学 知识探究 1.对数的概念 (1)若ax=N(a>0,且a≠1),则数x叫做以a为底N的对数,记作x= ,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. (2)当a>0,a≠1时,ax=N⇔x= . (3)常用对数:以10为底的对数,记作lg N. 自然对数:以无理数e=2.718 28…为底的对数,记作ln N. 思考:写出下列方程的解: (1)2x=2; 提示:(1)x=1. (2)2x=3. 提示:(2)x=log23. logaN logaN 数学 2.对数的性质 (1)负数和0没有对数. (2)loga1=0. (3)logaa=1. 数学 师生互动·合作探究 探究点一 对数的概念 类型一　对数式与指数式的互化 [例1] 将下列对(或指)数式化成指(或对)数式. (2)logx64=-6; 解:(2)因为logx64=-6,所以x-6=64. 数学 [例1] 将下列对(或指)数式化成指(或对)数式. 数学 方法总结 (1)利用对数与指数间的互化关系时,要注意各字母位置的对应关系,其中两式中的底数是相同的. (2)并非任何指数式都可以直接化为对数式,如(-3)2=9就不能直接写成log(-3)9=2,只有符合a>0,a≠1,且N>0时,才有ax=N⇔x=logaN. (3)求对数式中x的值,可将对数式化成指数式建立x的方程求解. 数学 针对训练1:利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值. (2)logx25=2; 解:(2)由logx25=2,得x2=25.因为x>0,且x≠1,所以x=5. (3)log5x2=2; 解:(3)由log5x2=2,得x2=52,所以x=±5. 因为52=25>0,(-5)2=25>0,所以x=5或x=-5. 数学 针对训练1:利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值. 数学 类型二　对数的底数、真数概念的理解 [例2] 求下列各式中x的取值范围. (1)log(2x+1)(x+2); 数学 [例2] 求下列各式中x的取值范围. 数学 方法总结 对数式中要求真数大于0,底数不但要大于0,而且不能等于1.由此,可建立关于x的不等式组,解不等式组可求出x的取值范围. 数学 针对训练2:求下列各式中x的取值范围: (1)log0.5(x-3); 解:(1)要使原式有意义,则x-3>0,故x的取值范围为(3,+∞). (2)log(x-1)(2-x). 数学 探究点二 对数的性质 [例3] 求下列各式中的x的值. (1)log8[log7(log2x)]=0; 解:(1)由log8[log7(log2x)]=0,得log7(log2x)=1, 即log2x=7,所以x=27. (2)log2[log3(log2x)]=1. 解:(2)由log2[log3(log2x)]=1,得log3(log2x)=2,所以log2x=9,所以x=29. 数学 方法总结 根据对数性质loga1=0,logaa=1(a>0,且a=1)可知,若logax=0,则必有x=1,若logax=1,则必有x=a. 数学 针对训练3:求下列各式中x的值. (1)lg(ln x)=1; 解:(1)由lg(ln x)=1得ln x=10, 所以x=e10. (2)lg(ln x)=0. 解:(2)由lg(ln x)=0得ln x=1, 所以x=e. 数学 探究点三 对数恒等式及其应用 [例4] 求下列各式的值. 数学 [例4] 求下列各式的值. 数学 方法总结 数学 针对训练4:求下列各式的值. (1)103lg 2×eln 2; 解:(1)103lg 2×