4.5 函数的应用（二）-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习课件PPT（人教A版）

4.5　函数的应用(二) 4.5.1　函数的零点与方程的解 数学 学习目标 1.结合学过的函数图象与性质,了解函数零点与方程解的关系,培养直观想象的核心素养. 2.了解零点的存在定理,会判断零点的个数及零点所在的大致区间,培养逻辑推理和数学运算的核心素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 1.函数零点与方程的解 (1)函数的零点 ①定义:对于一般函数y=f(x),我们把使 的实数x叫做函数y=f(x)的零点. ②性质 a.当函数图象通过零点且穿过x轴时,函数值 . b.两个零点把x轴分为三个区间,在每个区间上所有函数值保持同号. f(x)=0 变号 数学 (2)方程、函数、函数图象之间的关系 方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)的图象与 有公共点⇔函数y= f(x)有 . 2.函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条 的曲线,且有 ,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内 零点,即存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就是方程f(x)=0的解. x轴 零点 连续不断 f(a)f(b)<0 至少有一个 f(c)=0 数学 3.二次函数零点的分布 设x1,x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根,则函数f(x)= ax2+bx+c(a>0)零点x1,x2的分布情况与一元二次方程系数之间的关系如下表 数学 数学 数学 ③一个正根,一个负根:x1·x2<0. 数学 师生互动·合作探究 探究点一 函数的零点 解:(1)令-x2-4x-4=0,解得x=-2, 所以函数f(x)的零点为-2. 类型一　根据函数解析式求函数的零点 [例1] 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出. (1)f(x)=-x2-4x-4; 数学 [例1] 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出. (3)f(x)=4x+5; 解:(3)令4x+5=0,则4x=-5<0,而4x>0,所以方程4x+5=0无实数根,所以函数f(x)不存在零点. (4)f(x)=log3(x+1). 解:(4)令log3(x+1)=0,解得x=0,所以函数f(x)的零点为0.　 数学 方法总结 根据函数解析式求函数零点的两种方法 (1)代数法:求方程f(x)=0的实数根. (2)几何法:对于不易求根的方程f(x)=0,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. 注意:几何法常用来判断函数零点个数. 数学 针对训练1:求下列函数的零点. (1)f(x)=2x-1-3; 解:(1)令2x-1-3=0,得x=log26, 所以函数的零点是log26. 数学 针对训练1:求下列函数的零点. 解:(3)当x>0时,由f(x)=0,即ln x=0,解得x=1; 当x≤0时,由f(x)=0,即ex+1-1=0,解得x=-1. 综上,该函数有两个零点1和-1. 数学 类型二　确定函数零点所在区间 [例2] (1)设f(x)=ln x+x-2,则函数f(x)的零点所在的区间为(　　) A.(0,1)　 B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析:(1)因为f(1)=ln 1+1-2=-1<0,f(2)=ln 2>0,所以f(1)·f(2)<0.因为函数f(x)=ln x+x-2的图象是连续的,且单调递增,所以f(x)的零点所在的区间是(1,2).故选B. 数学 (2)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间(　　) A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 解析:(2)因为a<b<c,所以f(a)=(a-b)(a-c)>0, f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0, 由函数零点存在定理可知,在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点,又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点,因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内.故选A. 数学 方法总结 判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代入.将区间端点值代入函数求出函数的值; (2)判断.把所得的函数值相乘,并进行符号判断; (3)结论.若符号为正,且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点;若符号为负,且函数图象在该区间内连续,则在该区间内至少有一个零点. 数学 数学 数学 类型三　判断函数零点的个数 数学 数学