第08讲 垂径定理 （2大考点）-2022-2023学年九年级数学考试满分全攻略（沪教版）

第08讲 垂径定理（2大考点） ( 考点 考向 ) 一．垂径定理 （1）垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 二．垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题． 这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． ( 考点 精讲 ) 一．垂径定理（共12小题） 1．（2022•浦东新区校级模拟）如图，△ABC中，∠A＝50°，⊙O截△ABC的三条边所截得弦长相等，则∠BOC＝（　　） A．110° B．115° C．120° D．125° 2．（2022•浦东新区校级模拟）在半径为13cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为24cm，另一条弦长为10cm，则这两条弦之间的距离为 　 　cm． 3．（2022春•徐汇区期中）已知正三角形ABC的弦心距为a，那么△ABC的周长是 　 　.（用含a的式子表示）． 4．（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为 　 　． 5．（2022•杨浦区三模）已知AB是⊙O的弦，如果⊙O的半径长为5，AB长为4，那么圆心O到弦AB的距离是　 　． 6．（2022•徐汇区校级模拟）如图，点P是y轴正半轴上一点，以P为圆心的圆与x轴、y轴分别交于点A、B、C、D．已知点A的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，﹣1），则点D的坐标为　 　． 7．（2022•松江区校级模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足为点F，DE＝5，OF＝1，那么CD＝　 　． 8．（2022春•长宁区校级期中）如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果CD＝4，AB＝16，那么OC＝　 　． 9．（2022春•浦东新区校级期中）如图，点A、B、C在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠AOC度数为　 　度． 10．（2022春•杨浦区校级月考）如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝2，ED＝6，求⊙O的半径长． 11．（2022春•浦东新区校级期中）如图，圆O经过平行四边形ABCD的三个顶点A、B、D，且圆心O在平行四边形ABCD的外部，tan∠DAB＝，D为弧AB的中点，⊙O的半径为5，求平行四边形的面积． 12．（2022•嘉定区校级模拟）如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N． （1）求线段OD的长； （2）若tan∠C＝，求弦MN的长． 二．垂径定理的应用（共3小题） 13．（2022•上海）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为 　 　.（结果保留π） 14．（2022春•松江区校级期中）铲车轮胎在建筑工地的泥地上留下圆弧形凹坑如图所示，量得凹坑跨度AB为80cm，凹坑最大深度CD为20cm，由此可算得铲车轮胎半径为　 　cm． 15．（2022•徐汇区模拟）如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径． ( 巩固 提升 ) 一、单选题 1．（2021·上海·位育中学九年级阶段练习）已知⊙O的半径为3cm，在平面内有一点A，且OA=6cm，则点A与⊙O的位置关系是（     ） A．点A在⊙O内 ； B．点A在⊙O上； C．点A在⊙O外； D．不能确定． 2．（2022·上海金山区世界外国语学校一模）如图，是弧所在圆的圆心．已知点B、C将弧AD三等分，那么下列四个选项中不正确的是（    ） A． B． C． D．． 二、填空题 3．（2021·上海·九年级专题练习）如图，弧所在的⊙的半径长为5，正三角形的顶点、分别在半径、上，点在弧上，．如果，那么这个正三角形的边长为__________． 4．