第9章 专题1 解三角形中的最值与范围问题（课件PPT）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第四册（人教B版）

单击此处添加文本具体内容 第九章　解三角形 专题1　解三角形中的最值与范围问题 　　解三角形中的最值或范围问题，是高中数学的重要内容.三角形中的最值或范围问题，一般转化为条件最值或范围问题，先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，再利用基本不等式或函数方法求最值. 专题1　解三角形中的最值与范围问题 题型一　三角形的边长的最值问题 [例1]　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin＋bsin＝2ccos C. （1）若sin A＝，a＜b，求cos B的值； 专题1　解三角形中的最值与范围问题 [解]　（1）∵asin＋bsin＝2ccos C， ∴acos B＋bcos A＝2ccos C. 由正弦定理，得sin Acos B＋cos Asin B＝2sin Ccos C， 即sin（B＋A）＝2sin Ccos C.又A＋B＝π－C，∴sin（A＋B）＝sin C， ∴sin C＝2sin Ccos C.又C∈（0，π），∴sin C＞0，∴cos C＝，∴C＝. ∵sin A＝，a＜b，∴A为锐角，∴cos A＝＝， ∴cos B＝－cos（A＋C）＝－cos Acos C＋sin Asin C＝－×＋×＝. 专题1　解三角形中的最值与范围问题 （2）若△ABC的面积为，求边长c的最小值. [解]　（2）∵S△ABC＝ab·＝，∴ab＝4. 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab×＝a2＋b2－ab≥ab＝4，当且仅当a＝b时等号成立， ∴c≥2，∴边长c的最小值为2. 专题1　解三角形中的最值与范围问题 求与三角形边相关的最值问题，一般先通过正弦、余弦定理求相关边，再利用基本不等式或函数解决最值问题. 题型二　与三角形的角有关的最值问题 [例2]　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足b2－a2＝ac，则－的取值范围是 　　　　⁠.  专题1　解三角形中的最值与范围问题 [解析]　由正弦定理，得sin2B－sin2A＝sin Asin C， 由降幂公式，得＝sin Asin C，即－2sin（A＋B）·sin（A－B）＝2sin A·sin C. 又∵sin（A＋B）＝sin C≠0，化简，得sin（B－A）＝sin A. 在△ABC中，得B＝2A，∴C＝π－3A. 由△ABC为锐角三角形，得 ∴＜A＜，＜B＜，而－＝. ∵＜B＜，∴sin B∈，∴1＜＜，即－∈. [答案]　 专题1　解三角形中的最值与范围问题 　　求三角函数式的范围一般先确定角的范围，利用三角函数的单调性及有界性求范围与最值，有时也利用均值不等式求最值. 专题1　解三角形中的最值与范围问题 题型三　三角形周长的最值或范围问题 [例3]　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（b－2a）cos C＋ccos B＝0，请在①b＝2，②c＝，③a＝c这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，然后解答问题. （1）已知 　　　　⁠，计算△ABC的面积；  专题1　解三角形中的最值与范围问题 [解]　（1）因为（b－2a）cos C＋ccos B＝0， 由正弦定理可得（sin B－2sin A）cos C＋sin Ccos B＝0， 即sin Bcos C－2sin Acos C＋sin Ccos B＝0， 所以sin（B＋C）－2sin Acos C＝0，即sin A－2sin Acos C＝0. 又sin A≠0，所以cos C＝，而0＜C＜π，故C＝. 若选①b＝2，②c＝，则由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C， 得7＝a2＋4－2a，解得a＝3， 所以△ABC的面积为absin C＝×3×2×＝. 专题1　解三角形中的最值与范围问题 若选②c＝，③a＝c，则△ABC是等边三角形，所以a＝c＝b＝， 所以△ABC的面积为absin C＝×××＝. 若选①b＝2，③a＝c，则△ABC是等边三角形，所以a＝c＝b＝2， 所以△ABC的面积为absin C＝×2×2×＝. 专题1　解三角形中的最值与范围问题 （2）当c＝5时，求△ABC的周长的最大值. 注：如选择多种搭配方式分别解答，按第一个解答计分. [解]　（2）由基本不等式≤，得ab≤. 由余弦定理，得25＝a2＋b2－ab＝（a＋b）2－3ab≥（a＋b）2－＝， 所以a＋b≤10，当且仅当a＝b＝5时等号成立， 所以△ABC的周长a＋b＋c≤15，当且仅当a＝b＝5时等号成立， 即△ABC的周长的最大值为15. 专题1　解三角形中的最值与范围问题 　　周长问题也可看作是边长问题的延伸，所以在解决周长相关问题时，要着眼于边长之间的关系，结合边长求最值（范围）的解决方式，通常都