5.3.2 第2课时 等比数列前n项和的应用（课件PPT）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第三册（人教B版）

单击此处添加文本具体内容 第五章　数列 5.3.2　等比数列的前n项和 第2课时　等比数列前n项和的应用 [学习任务] 1.会用分组求和法与错位相减法求数列的前n项和. 2.会用等比数列的前n项和公式解决实际问题. 第2课时　等比数列前n项和的应用 [对应学生用书第24页] 知识点一　分组求和法 1.若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和. 2.通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和. 第2课时　等比数列前n项和的应用 已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋n，前n项和为Sn，则S6＝ 　　　　⁠.  解析　S6＝（21＋22＋23＋24＋25＋26）＋（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝＋＝27－2＋21＝27＋19＝147. 答案　147 第2课时　等比数列前n项和的应用 知识点二　错位相减法 1.推导等比数列前n项和的方法叫 　错位相减　⁠法. 2.该方法一般适用于求一个 　等差　⁠数列与一个 　等比　⁠数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bncn}的前n项和Sn时，也可以用这种方法. 错位相减　 等差　 等比　 第2课时　等比数列前n项和的应用 [思考]　如果Sn＝a1＋a2q＋a3q2＋…＋anqn－1，其中{an}是公差为d的等差数列，q≠1.两边同乘q，再两式相减会怎样？ [提示] Sn＝a1＋a2q＋a3q2＋…＋anqn－1， ① qSn＝a1q＋a2q2＋…＋an－1qn－1＋anqn， ② ①－②得，（1－q）Sn＝a1＋（a2－a1）q＋（a3－a2）q2＋…＋（an－an－1）qn－1－anqn＝a1＋d（q＋q2＋…＋qn－1）－anqn. 同样能转化为等比数列求和. 第2课时　等比数列前n项和的应用 [对应学生用书第24页] 探究一　分组转化法求和 [例1]　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3＝8，S5＝2a7. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＝an＋2n＋1，求数列{bn}的前2n项和T2n. 第2课时　等比数列前n项和的应用 [解]　（1）设{an}公差为d， 依题意得解得 所以an＝a1＋（n－1）d＝2＋3（n－1）＝3n－1. 第2课时　等比数列前n项和的应用 （2）因为bn＝an＋2n＋1， 所以T2n＝（a1＋a2＋…＋a2n）＋（22＋23＋…＋22n＋1） ＝＋＝6n2＋n＋22n＋2－4. 第2课时　等比数列前n项和的应用 　　若一个数列本身既不是等差数列也不是等比数列，但如果它的通项公式可以拆分为几项的和，而这些项又构成等差数列或等比数列，那么就可以用分组求和法，即原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和. 第2课时　等比数列前n项和的应用 1.已知数列{an}满足an＋an＋2＝2an＋1，n∈N*，且a1＝1，a5＋a7＝22. （1）求数列{an}的通项公式； （2）记在区间（3m，3m＋1）（m∈N*）上，{an}的项数为bm，求数列{bm}的前m项和. 解　（1）∵an＋an＋2＝2an＋1， ∴{an}为等差数列，设其公差为d， 由a5＋a7＝22.得a1＋4d＋a1＋6d＝22.又a1＝1， ∴d＝2，则an＝2n－1. 第2课时　等比数列前n项和的应用 （2）由题及（1）可得，bm＝－1＝3m－1， ∴b1＋b2＋…＋bm＝（31－1）＋（32－1）＋…＋（3m－1） ＝31＋32＋…＋3m－m＝3×－m＝－m－. 第2课时　等比数列前n项和的应用 探究二　错位相减法求和 [例2]　①S4＝4S2，a2n＝2an＋1；②an＋an＋1＝4n；③an＞0，4Sn＝（an＋1）2.从这三个条件中任选一个填入下面的横线上并解答. 已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，n∈N*，若 　　　　⁠.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）  （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn＝3n－1，令cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn. 第2课时　等比数列前n项和的应用 [解]　（1）若选择条件①：设{an}的公差为d， ∵S4＝4S2， ∴4a1＋6d＝4（2a1＋d），即2a1＝d. ∵a2n＝2an＋1， ∴a1＋（2n－1）d＝2[a1＋（n－1）d]＋1，即a1－d＋1＝0. ∴a1＝1，d＝2，an＝2n－1； 第2课时　等比数列前n项和的应用 若选择条件②： ∵an＋an＋1＝4n， ∴an＋1＋an＋2＝4n＋4， 两式相减得an＋2－an＝4. 又∵{an}是等差数列， ∴an＋2－