5.5 数学归纳法（课件PPT）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高二新教材数学选择性必修第三册（人教B版）

单击此处添加文本具体内容 第五章　数列 5.5　数学归纳法 [学习任务] 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的命题. 5.5　数学归纳法 [对应学生用书第33页] 知识点　数学归纳法的定义与证明 1.数学归纳法 　　一个与自然数有关的命题，如果 （ⅰ）当n＝ 　n0　⁠时，命题成立； （ⅱ）在假设n＝k（其中k≥n0）时命题成立的前提下，能够推出n＝ 　k＋1　⁠时命题也成立.那么，这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立. n0　 k＋1　 5.5　数学归纳法 2.数学归纳法的证明形式 　　记P（n）是一个关于正整数n的命题.我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：（1） 　P（n0） 　⁠为真；（2）若 　P（k）　⁠为真，则 　P（k＋1）　⁠也为真. 结论： 　P（n）　⁠为真. P（n0） 　 P（k）　 P（k＋1）　 P（n）　 5.5　数学归纳法 3.数学归纳法中的两个步骤 　　在数学归纳法的两步中，第一步验证（或证明）了当 　n＝n0　⁠时结论成立，即命题 　P（n0）为真 　⁠；第二步是证明一种 　递推　⁠关系，实际上是要证明一个新命题： 　若P（k）为真，则P（k＋1）也为真　⁠.只要将这两步交替使用，就有 　P（n0） 　⁠真， 　P（n0＋1） 　⁠真…… 　P（k）　⁠真， 　P（k＋1）　⁠真……从而完成证明. n＝n0　 P（n0）为真 　 递推　 若P（k）为真，则P（k＋1）也为真　 P （n0） 　 P（n0＋1） 　 P（k）　 P（k＋1）　 5.5　数学归纳法 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. （1）应用数学归纳法证明数学命题时n0＝1. （　×　） （2）用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，缺一不可. （　√　） （3）推证n＝k＋1时可以不用n＝k时的假设. （　×　） × √ × 5.5　数学归纳法 [对应学生用书第34页] 探究一　用数学归纳法证明恒等式 [例1]　用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n（3n＋1）＝n（n＋1）2（其中n∈N*）. [证明]　①当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立. 5.5　数学归纳法 ②假设当n＝k（k∈N*）时等式成立， 即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k（3k＋1）＝k（k＋1）2. 那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k（3k＋1）＋（k＋1）[3（k＋1）＋1] ＝k（k＋1）2＋（k＋1）[3（k＋1）＋1] ＝（k＋1）（k2＋4k＋4） ＝（k＋1）[（k＋1）＋1]2， 即当n＝k＋1时等式也成立. 根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N*都成立. 5.5　数学归纳法 用数学归纳法证明等式的方法 用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，关键在于先“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关.由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项；再“两凑”，将n＝k＋1时的式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需的形式——凑结论. 5.5　数学归纳法 1.用数学归纳法证明：＋＋…＋＝. 证明　①当n＝1时，＝成立； 5.5　数学归纳法 ②假设当n＝k时等式成立，即有＋＋…＋＝， 则＋＋…＋＋ ＝＋＝， 即当n＝k＋1时等式也成立. 由①②可知对于任意的n∈N*等式都成立. 5.5　数学归纳法 探究二　用数学归纳法证明不等式 [例2]　已知n∈N*，n＞2，求证：1＋＋＋…＋＞. 5.5　数学归纳法 [证明]　当n＝3时，左边＝1＋＋， 右边＝＝2，左边＞右边，不等式成立. 假设当n＝k（k∈N*，k≥3）时不等式成立， 即1＋＋＋…＋＞. 当n＝k＋1时， 1＋＋＋…＋＋＞＋＝＞＝＝， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立. 综上所述，对一切n∈N*，n＞2，不等式恒成立. 5.5　数学归纳法 用数学归纳法证明不等式的四个关键 （1）验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1.若n＞k（k为正整数），则n0＝k＋1. （2）证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法. 5.5　数学归纳法 （3）用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明. （4）用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立，得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、放缩法等. 5.5