一题多解探寻圆锥曲线压轴破解之策与算法优化（5）巧用直线方向向量解题

5 / 5 例谈圆锥曲线压轴题破解之策与算法优化 【方法策略简述】 一、解析几何大题多以圆锥曲线与直线综合应用的形式呈现，考察动态情形下的范围、最值、定点、定值等问题及存在探索性问题. 二、解决此类问题的方法策略主要有三种： 1、根与系数的关系法（主流方法）． 设出动直线的方程（），与圆锥曲线方程联立消元得到关于的一元二次方程，得两根之和两根之积，同时兼顾的要求，利用两根之和两根之积进行整体代换整体变形而求解． 2、多变量多参数联动变换法． 此种方法有别于方法1，不联立方程消元求解，而是直接将所设出点的坐标代入曲线（直线）方程和题设中，得到若干个关于点的坐标与参数间的关系式，对这些关系式进行整体变形整体代换而求解．如弦中点问题常用点差法处理．此种方法对多变量多参数的代数式的驾驭能力及变换技巧是一种考验． 3、设点求点法． 方法1、2均采用了设而不求的策略．当问题中直线与曲线的交点易求时，可考虑直接求出点的坐标进行求解，即设点求点法．如：动直线过曲线上一已知点时，则另一交点坐标可直接求出；再如动直线与椭圆的交点易求出． 【双曲线综合题一例】 如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左右焦点为顶点的三角形的周长为.一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，且它的实轴长等于虚轴长，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和，其中在轴的同一侧. (1)求椭圆和双曲线的标准方程； (2)是否存在题设中的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1), (2)见解析 【解析】 (1)对于椭圆由题意可知 ,解得，从而 于是椭圆方程为，双曲线方程为. (2) 【方法一】斜率单参+韦达法+巧用直线方向向量 对于双曲线易证得，故设 设 由得，则 由得，则 直线的方向向量为，故 直线的方向向量为，故 由于在轴的同一侧，故 若 即 整理得，即 故， 当时，直线方程为，与双曲线方程联立得 则， 故，代入直线方程得,故点, 由对称性知，满足题意的点的坐标为. 【方法二】韦达法+多参联动+巧用数量积的定义及坐标运算 设，则， 因为点在双曲线上，所以， 设 设 由得，则 由得，则 由题意知： 可得 , 所以 又 所以 所以，即存在点. 【点评】 1.韦达法是解决圆锥曲线综合问题的有力工具和主流方法. 2.方法一巧用，将转化为斜率的方程，属通性通法； 方法二结合向量数量积的定义，由得，即，而，再分别利用向量数量积的定义及坐标运算对进行运算，即可求得点的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $