专题05 统计模型（精讲）-2022-2023学年高二数学常见考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第二册)

专题05 统计模型（精讲） 知识梳理 一 一元线性回归模型 1．相关关系 （1）变量之间的常见关系 ①函数关系：两个变量之间的关系可以用函数表示. ②相关关系：如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，那么这两个变量之间的关系，叫做相关关系. ③不相关：两个变量间没有任何关系. （2）散点图 ①在讨论两个变量x和y之间的关系时，常把它们写成点(x，y)的形式，以便利用平面直角坐标系来考虑它们之间的关系，此时x和y可以看成是描述同一个体的两个不同的特征量. ②将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫散点图. （3）线性相关关系 ①线性相关：如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知，变量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画，则称x与y线性相关. ②正相关：在线性相关中，如果一个变量增大，另一个变量大体上也增大，称这两个变量正相关. ③负相关：在线性相关中，如果一个变量增大，另一个变量大体上减少，则称这两个变量负相关. 2．回归直线方程 （1）回归直线方程 一般地，已知变量x与y的n对成对数据(xi，yi)，i=1，2，3，…，n.任意给定一个一次函数y=bx+a，对每一个已知的xi，由直线方程可以得到一个估计值=bxi+a，如果一次函数y=x+能使(-y1)2+(-y2)2+…+(-yn)2=(yi-)2取得最小值，则x+称为y关于x的回归直线方程(对应的直线称为回归直线). （2）最小二乘法确定回归直线方程：给定两个变量y与x的一组数据之后，回归直线方程x+总是存在，而且. 其中，称为回归系数.它实际上也就是回归直线方程的斜率. （3）回归直线的性质 ①回归直线过点(). ②回归直线方程x+>0时，y与x正相关；<0时，y与x负相关. 3．相关系数 （1）相关系数r的计算公式 假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则变量间相关系数r的计算公式如下： r= . （2）相关系数r的性质 ①|r|≤1，且y与x正相关的充要条件是r>0，y与x负相关的充要条件是r<0. ②|r|越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱，也就是得出的回归直线方程越没有价值，即方程越不能反映真实的情况；|r|越大，说明两个变量之间的线性相关性越强，也就是得出的回归直线方程越有价值. ③|r|=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上. 4.非线性回归 常见的非线性回归模型转化为线性回归模型 曲线方程 曲线图形 变换公式 变换后的 线性函数 y=axb c=ln a v=ln x u=ln y u=c+bv y=aebx c=ln a u=ln y u=c+bx c=ln a v= u=ln y u=c+bv y=a+bln x v=ln x u=y u=a+bv 二 独立性检验 1．独立性检验 （1）如果随机事件A与B样本数据的2×2列联表如下: 记n=a+b+c+d.统计学中有一个非常有用的统计量χ2(读作“卡方”).   A 总计 B a b a+b   c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 它的表达式是χ2=. （2）任意给定一个α(称为显著性水平)，可以找到满足条件P(χ2≥k)=α的数k(称为显著性水平α对应的分位数).χ2是一个随机变量，其分布能够求出，上面的概率是可以计算的.因此，如果根据样本数据算出χ2的值后，发现χ2≥k成立，就称在犯错误的概率不超过α的前提下，可以认为A与B不独立(也称为A与B有关);或说有1-α的把握认为A与B有关.若χ2<k成立，就称不能得到前述结论.这一过程通常称为独立性检验. （3）A与B独立时，也称为A与B无关.当χ2<k成立时，一般不直接说A与B无关，也就是说，独立性检验通常得到的结果，或者是有1-α的把握认为A与B有关，或者没有1-α的把握认为A与B有关. （4）独立性的判断方法 (1)当χ2<2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的; (2)当χ2≥2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联; (3)当χ2≥3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联; (4)当χ2≥6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联. 常见考点 考点一 相关系数的意义及辨析 典例1．（2022·山东临沂·高二期末）对于样本相关系数，下列说法错误的是（    ） A．样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性 B．样本相关系数可以是正的，也可以是负的 C．样本相关系数 D．样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也