精品解析：上海市复旦大学附属中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题

上海市复旦大学附属中学2021-2022学年高一下学期末数学试卷 一、填空题 1. 已知复数满足(是虚数单位)，则复数______． 2. 已知直线一个方向向量为，平面的一个法向量，若，则实数_______． 3. 已知圆柱的底面半径为2，高为2，则该圆柱的侧面积是______． 4. 已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_____． 5. 正方体的棱长为2，则直线与平面的距离是__． 6. 如图，长方体中，，点和分别为线段和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__． 7. 已知是二面角内的一点，垂直于于垂直于于，则二面角的大小为__． 8. 已知球的半径为1，球面上有三点A，B，C且，则球面上的点到平面的距离的最大值为__． 9. 如图，直四棱柱中，底面为平行四边形，，点是半圆弧上的动点(不包括端点)，点是半圆弧上的动点(不包括端点)，若三棱锥的外接球表面积为，则的取值范围是__． 10. 中，，过点A的直线在平面上，且在直线的同一侧，将绕直线旋转一周所得的几何体的体积的最大值为______． 二、选择题 11. 已知直线，与平面，其中，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. 如图，在正方体中，动点在棱上，动点在线段上，为底面的中心，若，则四面体的体积（ ） A. 与都有关 B. 与有关，与无关 C. 与有关，与无关 D. 与都无关 13. 已知中，角A、B、C的对边分别为、、，若，则的值为（ ） A 3 B. 4 C. 7 D. 8 14. 如图，一张纸的长，宽，分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得四点重合为一点，从而得到一个多面体，下列关于该多面体的命题： ①该多面体是三棱锥；②平面平面； ③平面平面；④该多面体外接球的表面积为； 其中正确个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题 15. 已知向量，其中，且． （1）求和的值； （2）若，且，求角的值． 16. 如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成二面角的大小． 17. 如图所示，有满足下列条件的五边形的彩纸，其中，，．现将彩纸沿向内进行折叠． （1）求线段长度； （2）若是等边三角形，折叠后使⊥，求直线与平面的所成角的大小； （3）将折叠后得到四棱锥记为四棱锥，求该四棱锥的体积的最大值． 18. 如图，斜三棱柱中，，为的中点，为的中点，平面⊥平面． （1）求证：直线平面； （2）设直线与直线的交点为点，若三角形是等边三角形且边长为2，侧棱，且异面直线与互相垂直，求异面直线与所成角； （3）若，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱的高． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市复旦大学附属中学2021-2022学年高一下学期末数学试卷 一、填空题 1. 已知复数满足(是虚数单位)，则复数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算法则计算可得. 【详解】解：因为，所以. 故答案为： 2. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量，若，则实数_______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据直线与平面平行，得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，进而利用空间向量数量积为0列出方程，求出的值. 【详解】因为，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直， 即，解得：. 故答案为：10 3. 已知圆柱的底面半径为2，高为2，则该圆柱的侧面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】圆柱的侧面展开为矩形，求出矩形的长和宽，得到侧面积. 【详解】圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一条边长为圆柱底面周长，即，另一边长为2，故圆柱的侧面面积为. 故答案为： 4. 已知向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由两向量夹角为钝角得到数量积小于0，且不反向共线，列出不等式，求出实数的取值范围. 【详解】， 因为与的夹角为钝角，所以 所以，解得：， 且与不反向共线， 即，解得：， 综上：， 故答案为：. 5. 正方体的棱长为2，则直线与平面的距离是__． 【答案】 【解析】 【分析】先证明出平面，得到到平面的距离即为直线与平面的距离，作出辅助线，证明出BD⊥平面，BO即为直线与平面的距离，求出即为答案. 【详解】因为，平面，平面， 所以平面， 故点到平面的距离即为直线与平面的距离， 连接交于点， 因为四边形为正方形，所以⊥BD， 又因为⊥平面ABCD，平面ABCD， 所以⊥BD， 因为，平面， 所以BD⊥平面，故