专题1.4实数11大必考考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）-2022-2023学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】

2022-2023学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】 专题1.4实数11大必考考点精讲精练 （知识梳理+典例剖析+变式训练 【目标导航】 【知识梳理】 1． 平方根： （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． （3）一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． （4）平方根性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 3.立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果=a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 4.无理数与实数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 　　比如4=4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （4）实数的分类： 5.实数的性质： 在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． 实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|=a（a≥0），则x=±a． 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab=1；反之，若ab=1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 6.实数的大小比较 （1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． （2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 7.实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【典例剖析】 【考点1】平方根 【例1】（2021秋•吴江区月考）已知一个数的平方根是，这个数是　　 A． B．9 C．81 D． 【变式1.1】（2022春•崇川区校级期中）下列各式表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1.2】（2021秋•江阴市校级月考）如果一个正数a的两个不同平方根是2x﹣2和6﹣3x，则这个正数a的值为（　　） A．4 B．6 C．12 D．36 【变式1.3】（2022•鼓楼区校级开学）用“★”规定新运算：对于任意实数a，b，都有a★b＝a2﹣b，如果x★13＝2，那么x等于（　　） A．15 B． C． D．± 【考点2】算术平方根 【例2】（2020春•沭阳县期末）下列说法正确的是（　　） A．若a，则a＜0 B．若a，则a＞0 C．a2b4 D．3的平方根是 【变式2.1】（2022春•铜山区期末）的值为（　　） A．±3 B．﹣3 C．3 D． 【变式2.2】（2022秋•吴江区校级月考）下列语句、式子中：①±4．②4是16的算术平方根．③﹣7是49的算术平方根．④7是（﹣7）2的算术平方根．其中正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【变式2.3】（2021秋•泰兴市期末）若方程x2＝5的解分别为a、b，且a＞b，下列说法正确的是（　　） A．5的平方根是a B．5的平方根是b C．5的算术平方根是a D．5的算术平方根是b 【考点3】算术平方根的性质 【例3】（2020•镇江模拟）已知，则ab的值为（　　） A．4 B．