2019-2020学年上海各区一模压轴题分类汇编-25题

专题 2020年上海各区分类汇编-25题 专题一 动点函数下的相似三角形 【历年真题】 1．（2019秋•奉贤区期末）如图，已知平行四边形ABCD中，AD＝，AB＝5，tanA＝2， 点E在射线AD上，过点E作EF⊥AD，垂足为点E，交射线AB于点F，交射线CB于点G， 联结CE、CF，设AE＝m． （1）当点E在边AD上时， ①求△CEF的面积；（用含m的代数式表示） ②当S△DCE＝4S△BFG时，求AE：ED的值； （2）当点E在边AD的延长线上时，如果△AEF与△CFG相似，求m的值． 【考点】相似形综合题．版权所有 【专题】综合题；运算能力；推理能力． 【分析】（1）①先根据三角函数表示出EF，再用勾股定理表示出AF，再判断出△AEF∽△BGF，得出比例式表示出CG，即可得出结论； ②先表示出FG，再用S△DCE＝4S△BFG建立方程求出m，即可得出结论； （2）分两种情况：①当△AEF∽△CGF时，得出∠AFE＝∠CFG，进而得出BG＝BC＝，FG＝BGtan∠CBF＝，再根据勾股定理得，BF＝＝，进而得出AF＝AB+BF＝5+＝，最后判断出△BGF∽△AEF，得出比例式建立方程求解即可得出结论； ②当△AEF∽△CGF时，先判断出∠AFC＝90°，进而得出CF＝2BF，再根据勾股定理得，求出BF＝1，得出AF＝AB+BF＝6，同理：BG＝，再判断出△BGF∽△AEF，得出比例式建立方程求解即可得出结论． 【解答】解：（1）①∵EF⊥AD，∴∠AEF＝90°， 在Rt△AEF中，tanA＝2，AE＝m，∴EF＝AEtanA＝2m， 根据勾股定理得，AF＝＝m， ∵AB＝5，∴BF＝5﹣m， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝，AD∥BC， ∴∠G＝∠AEF＝90°，∴△AEF∽△BGF， ∴，∴，∴BG＝﹣m， ∴CG＝BC+BG＝+﹣m＝2﹣m， ∴S△CEF＝EF•CG＝•2m•（2﹣m）＝2m﹣m2； ②由①知，△AEF∽△BGF，∴， ∴FG＝•EF＝•2m＝2（﹣m）， ∴EG＝EF+FG＝2m+2（﹣m）＝2， ∴S△CDE＝DE•EG＝（﹣m）•2＝5﹣m， S△BFG＝BG•FG＝（﹣m）•2（﹣m）＝（﹣m）2， S△DCE＝4S△BFG时，∴5﹣m＝4（﹣m）2， ∴m＝（舍）或m＝， ∴DE＝AD﹣AE＝﹣＝， ∴AE：ED＝：＝3， 即：AE：ED的值为3； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝，AD∥BC， ∵EF⊥AD，∴EF⊥BC，∴∠AEF＝∠CGF＝90°， ∵△AEF与△CFG相似， ∴①当△AEF∽△CGF时，如图1，∴∠AFE＝∠CFG， ∵EF⊥BC，∴BG＝BC＝， ∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠A， ∵tanA＝2，∴tan∠CBF＝2， 在Rt△BGF中，FG＝BGtan∠CBF＝， 根据勾股定理得，BF＝＝， ∴AF＝AB+BF＝5+＝， ∵BC∥AD，∴△BGF∽△AEF，∴，∴， ∴m＝； ②当△AEF∽△CGF时，如图2，∴∠EAF＝∠GFC， ∵∠EAF+∠AFE＝90°，∴∠GFC+∠AFE＝90°， ∴∠AFC＝90°， ∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠A，∴tan∠CBF＝tanA＝2， 在Rt△BFC中，CF＝BF•∠CBF＝2BF， 根据勾股定理得，BF2+CF2＝BC2，∴BF2+4BF2＝（）2，∴BF＝1， ∴AF＝AB+BF＝6， 在Rt△BGF中，同理：BG＝， ∵AD∥BC，∴△BGF∽△AEF，∴，∴，∴m＝． 即：如果△AEF与△CFG相似，m的值为或． 【点评】此题是相似形综合题，主要考查了平行四边形的性质，锐角三角函数，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 2．（2019秋•杨浦区期末）已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB 上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合）， 且∠PCQ＝30°． （1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长； （2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域； （3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果△QCE与△BCP相似，求线段BP的长． 【考点】相似形综合题．版权所有 【专题】几何综合题；应用意识． 【分析】（1）如图1中，作PH⊥BC于H．解直角三角形求出BH，PH，在Rt△PCH中，理由勾股定理即可解决问题． （2）如图1中，作PH⊥BC于H，连接PQ，设PC交BD于O．证明△POQ∽△BOC，推出∠OPQ＝∠OBC＝30°＝∠PCQ，