专题06 平面向量及其线性运算（精讲）-2022-2023学年高一数学常见考点精讲精练(人教B版2019必修第二册)

专题06 平面向量及其线性运算（精讲） 知识梳理 一 向量的概念 1．位移与向量 （1）位移被“方向”和“距离”唯一确定，其中“距离”也被称为位移的大小.一般的，像位移这样既有大小又有方向的量称为向量（也称为矢量），向量的大小也称为向量的模；只有大小的量称为标量，长度、面积等都是标量。 （2）我们用有向线段来直观的表示向量，通常有向线段不带箭头的端点被称为向量的始点（或起点），带箭头的端点被称为向量的终点.始点为A终点为B的有向线段所表示的向量，可以用符号简记为，此时，向量的模用表示. （3）始点和终点相同的向量称为零向量，表示为：， （4）模长等于1的向量称为单位向量，表示为：， 2．向量的相等与平行 （1）一般的，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量，向量等于向量，记作， （2）如果两个非零向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行，向量与向量平行，记作，，两个向量平行也称为两个向量共线。 注意：零向量的方向是任意方向，所以规定零向量与任何向量都平行。 二 向量的加法 1．向量加法的三角形法则 （1）向量加法的定义 一般地，平面上任意给定两个向量,在该平面内任取一点A,作，，作出向量,则向量称为向量与的和（也称为向量与的和向量）。 向量与的和向量记作,因此, （2）三角形法则 一般的，当与不共线时，求它们的和可用下图所示．因为此时,正好能构成一个三角形，因此上述求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则。 （3）对任意向量，有 （4）向量的模与向量的模之间满足不等式： 2．向量加法的平行四边形法则 （1）一般地，当两个向量不共线时，可以通过作平行四边形的方法来得到它们的和：如图所示，平面上任意给定两个不共线向量,在该平面内任取一点A,作，，以，为邻边作一个平行四边形,作出向量,因为,因此. 上述求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则. （2）交换律：对任意向量，都有 3．多个向量相加 （1）结合律：对任意向量，都有 （2）因为向量的运算满足交换律和结合律，所有有限个向量相加的结果是唯一的，可以调换其中向量的位置，也可以决定相加的顺序。为了得到有限个向量的和，只需将这些向量收尾相接，那么第一个向量的始点为始点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和。 三 向量的减法 1.向量加法的定义 一般地，平面上任意给定两个向量,在该平面内任取一点O,作，，作出向量,则向量称为向量与的差（也称为向量与的差向量）。 向量与的差向量记作,因此, 2.三角形法则 一般的，当与不共线时，求它们的差可用下图所示．因为此时,正好能构成一个三角形，因此上述求两向量差的作图方法也常称为向量差法的三角形法则。 3.相反向量 给定一个向量，把与这个向量方向相反大小相等的向量称为相反向量。向量的相反向量记作 4.对任意向量，有 5.向量的减法可看做向量加法的逆运算，即： 6.对任意向量，满足不等式： 四 数乘向量 1. 数乘向量的定义 一般地，给定一个实数与任意一个向量,规定它们的乘积是一个向量，记作,其中： （1)当且时，的模为,而且的方向如下： ①当时，与的方向相同；②当时，与的方向相反． （2)当或时，. 上述实数与向量相乘的运算简称为数乘向量。 由定义不难看出，数乘向量的结果是一个向量，而且这个向量与原来的向量共线（平行），即；数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小。特别地，一个向量的相反向量可以看成－1与这个向量的乘积，即.当和都是实数，且是向量时：是向量，也是向量；是实数，但是向量。可以看出. 2.向量平行 如果存在实数，使得，则。 3.三点共线 一般地，如果存在实数，使得，则与平行且有公共点A，所以，三点共线。 五 向量的线性运算 1．向量的加法与数乘向量的混合运算 （1）一般地，对于实数和，以及向量，有. （2）一般地，对于实数，以及向量与向量，有. 2.向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘向量以及他们的混合运算，统称为向量的线性运算。 常见考点 考点一 向量的概念 典例1-1．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是(    ) ①有向线段三要素是始点、方向、长度；②向量两要素是大小和方向；③同向且等长的有向线段表示同一向量；④在平行四边形中，． A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 变式1-1．（2022·全国·高一专题练习）下列说法正确的个数为（    ） ①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量；②零向量没有方向；③向量的模一定是正数；④非零向量的单位向量是唯一的 A．0 B．1 C．2 D．3 变式1-2．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中，正确的个数是（    ） ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若满足，且与同向，则； ④若两