专题13 添加辅助线（知识精讲+综合训练）-【期末冲刺】2022-2023学年八年级数学上册章节复习知识精讲与综合训练（沪教版）

章节复习知识精讲与综合训练 专题13 辅助线的添加 知识精讲 知识点01 根据图形补形添线 1、 常用的辅助线有： （1） 联结两个点得到线段； （2） 过某一点做平行线或者垂线； （3） 延长某一条线段，构造特殊的三角形． 【典例分析】 1．如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点． 求让： 2． P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 3．如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD=α°，∠ABC+∠ADC＝180°，AC、BD交于点E．将△CBA绕点C顺时针旋转α°得到△CDF． （1）求证：∠CAB＝∠CAD； （2）若∠ABD＝90°，AB＝3，BD＝4，△BCE的面积为S1，△CDE的面积为S2，求S1：S2的值． 知识点02 倍长中线 常做辅助线： 遇到中点，通过倍长中线构造全等的三角形． 【典例分析】 4．如图，在中，，，，，延长交于.求证：. 5．如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°． 6．如图，在中，，是的中线，点D在的延长线上，连接，平分． (1)求证：； (2)求证：． 知识点03 角平分线翻折 遇到与角平分线相关的题目，以角平分线为对称轴进行翻折，构造全等的三角形． 【典例分析】 7．（1）已知如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （2）思考：已知如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 8．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD． 9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：AC＝AE； （2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长． 综合训练 一、单选题 1．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　） A．1 B．1.8 C．2 D．2.5 2．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（    ） A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25 3．如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 4．若中，，则中线的取值范围是____________． 5．如图，中，点D在上，，点E是的中点，连接，则______________． 6．如图，在中，，，求边上中线的范围为_____． 7．如图，，，，，点M为的中点，，______． 8．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=36°，则∠CAP=______． 9．已知：如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，，，则的长为 ___________． 三、解答题 10．如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由； （2）判断BEG的形状，并说明理由． 11．已知：如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，BC＞BA．求证：点D在线段AC的垂直平分线上． 12．在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F． （1）求证：； （2）已知． ①如图1，若，，求CE的长； ②如图2，若，求的大小． 13．已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明． 14．已知∠ACD＝90°，MN是过点A的直线，AC＝DC，且DB⊥MN于点B，如图易证BD＋ABCB，过程如下： 解：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E ∵∠ACB＋∠BCD＝90°，∠ACB＋∠ACE＝90°， ∴∠BCD＝∠ACE． ∵DB⊥MN，∴∠ABC＋∠CBD＝90°， CE⊥CB，∴∠ABC＋∠CEA＝90°， ∴∠CBD＝∠CEA． 又∵AC＝DC， ∴△ACE≌△DCB（AAS）， ∴AE＝DB，CE＝CB， ∴△ECB为等腰直