27.2.4 相似三角形的性质（课件）-2022-2023学年九年级数学下册同步精品课堂（人教版）

相似三角形的性质 1.理解并掌握相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比，相似三角形对应线段的比等于相似比;(重点) 2.理解并掌握相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方; (重点) 3.利用相似三角形的性质解决简单的问题. (难点) 2 相似三角形的判定方法有哪几种？ ◑定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似. ◑平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角形相似. ◑三边成比例的两个三角形相似. ◑两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. ◑两角分别相等的两个三角形相似. ◑一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似. 如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ 如图，分别作△ABC和△A′B′C′的对应高AD和A′D′. ∵ △ABC∽△A′B′C′ ∴ ∠B=∠B′ 又 AD⊥BC，A′D′⊥B′C′ ∴ ∠ADB=∠A′D′B′=90° ∴ △ABD∽△A′B′D′ ∴ 如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ 如图，分别作△ABC和△A′B′C′的对应中线AE和A′E′. ∵ △ABC∽△A′B′C′ ∴ ∠B=∠B′ 又 E、E′分别是BC，B′C′的中点 ∴ BE=BC，B′E′=B′C′ ∴ ∴ ∴△ABE∽△A′B′E′ ∴ 5 如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ 如图，分别作△ABC和△A′B′C′的对应角平线AF和A′F′. ∵ △ABC∽△A′B′C′， ∴ ∠B=∠B′，∠BAC=∠B′A′C′ ∵ AF、A′F′分别平分∠BAC和∠B′A′C′ ∴ ∠BAF=∠BAC，∠BA′F′=∠B′A′C′ ∴ ∠BAF=∠BA′F′ ∴ △ABF∽△A′B′F′ ∴ 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. 一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比. 7 如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k. ∵ △ABC∽△A′B′C′ ∴ ∴ AB=kA′B′，BC=kB′C′，AC=kA′C′ ∴ 相似三角形周长的比等于相似比. 如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似三角形面积的比与相似比有什么关系？ 知识点一 相似三角形对应线段之比 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. 知识点二 相似三角形的周长之比 相似三角形周长的比等于相似比.类似地，相似多边形周长的比等于相似比. 知识点三 相似三角形的面积之比 相似三角形面积的比等于相似比的平方.类似地，相似多边形面积的比等于相似比的平方. 解：在△ABC和△DEF中 ∵AB=2DE，AC=2DF 又∵∠D=∠A ∴△DEF∽△ABC ，相似比为1:2 ∴ 例1.如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE ，AC=2DF，∠A=∠D. 若△ABC的边BC上的高为6，面积为 ，求△DEF的边EF上的高和面积. ∵△ABC的边BC上的高为6，面积为 ， ∴△DEF的边EF上的高为 ×6=3， 面积为 例2.如图，D，E 分别是AC，AB上的点，已知△ABC的面积为100cm2，且 ，求四边形BCDE的面积. 　 ∴ △ADE ∽△ABC. ∵ 它们的相似比为3:5， ∴ 面积比为9:25. B C A D E 解：∵ ∠BAC = ∠DAE，且 又∵ △ABC的面积为100cm2， ∴ △ADE的面积为36cm2 . ∴ 四边形BCDE的面积为100－36=64(cm2). △ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4和9，求 △ABC的面积. A B C D F E 解：∵ DE∥BC，EF∥AB ∴ △ADE ∽△ABC,∠AED=∠C，∠A =∠CEF ∴△ADE ∽△EFC 又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9 ∴ AE : EC=2:3 则 AE : AC =2 : 5 ∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25 ∴ S△ABC = 25 1.若与相似，且对应边的比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． A 2．如图，在中，，，，则的长是（     ） A．12