27.2.5 相似三角形的应用列举（课件，含动画演示）-2022-2023学年九年级数学下册同步精品课堂（人教版）

相似三角形的应用列举 1.能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度. (重点) 2. 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力. (难点) 2 1.相似三角形的判定： 2.相似三角形的性质： (1) 通过平行线； (2) 三边成比例； (3) 两边成比例且夹角相等； (4) 两角分别相等. (1) 对应边成比例，对应角相等； (2) 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比； (3) 相似三角形周长的比等于相似比； (4) 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 例1.据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO. 例1.据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO. 解：太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF. 又 ∠AOB =∠DFE = 90° ∴△ABO ∽△DEF ∴ ∴ 因此金字塔的高度为134m. 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 利用相似三角形测量高度 在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，这栋楼的高度是多少？ 解：在同一时刻物体的高度与它的影长成正比，设这栋楼的高度是xm， 依题意得 解得 x=54 答：这栋楼的高度是54m. 例2.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已知测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据，计算河宽PQ. PQ×90=(PQ+45)×60 解得 PQ=90 因此，河宽大约为90m. 解：∵∠PQR =∠PST =90°，∠P=∠P ∴△PQR∽△PST 即 ， 如图，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求河宽AB. 解：∵ AB⊥BC，CE⊥BC ∴ ∠B=∠C=90° 又 ∠ADB=∠EDC ∴ △ABD∽△ECD ∴ 即 解得，AB=100 因此，河宽AB为100m. 测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解. 利用相似三角形测量河宽 例3.如图，左、右并排的两棵大树的高分别是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，两树底部的距离 BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距离地面 1.6 m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了? 分析：如图，设观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水平视线FG，分别交AB、CD于点H、K.视线FA与FG的夹角∠AFH是观察点A时的仰角.类似地，∠CFK是观察点C时的仰角.由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ，观察者都看不到. 解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的 位置点E与两树的顶端A、C恰在一条直线上. ∵ AB⊥l，CD⊥l， ∴ AB∥CD ∴ △AEH∽△CEK ∴ 即 ， 解得 EH=8(m) 由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端C. 12 1.某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为( ) A.6米 B.7米 C.8.5米 D.9米 D 2.如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则拍击球的高度应h为( ) A.2.7米 B.1.8米 C.0.9米 D.0.6米 A 3.如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m，当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高______m. 8 4.如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图.在点P处放一水平的