专题18 解析几何中用导数分析的几种问题-备战2023年高考数学复习扫盲微专题系列

专题18 -----解析几何中用导数分析的几种问题 【专题导航】 导数作为数学工具，在研究函数的极值、最值等方面有广泛的应用.在解析几何中，曲线间的距离、极点极线、最值和切线等问题，常与导数相结合.本专题系统归纳总结解析几何中可以用导数的题型，供同仁们教学参考. 题型一 直线与圆锥曲线的最值或者范围问题 罗师导航 在直线与圆锥曲线的最值或者范围问题，如果所建立的数学模型结构过于复杂，不适合用不等式法和函数法求解时，常用导数法分析求解. 【例1-1】（范围）已知点为圆：上一动点，圆心关于轴的对称点为，点､分别是线段，上的点，且，． （1）求点的轨迹方程； （2）过点且斜率为的直线与点的轨迹交于，两点，点在点的轨迹上，，当时，证明：． 【例1-2】（最值）（2019年新课标Ⅱ）已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为−．记M的轨迹为曲线C． （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G． ①证明：是直角三角形；②求面积的最大值． 【能力达标训练】 【1-1】已知，分别为椭圆的左、右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于直线，垂足为，线段的垂直平分线交于点． （Ⅰ）求动点的轨迹的方程； （Ⅱ）过点作直线交曲线于两个不同的点和，设，若，，求的取值范围． 【1-2】设椭圆，直线过椭圆左焦点且不与轴重合，椭圆交于、，左准线与轴交于，．当与轴垂直时，． （1）求椭圆的方程； （2）直线绕着旋转，与圆交于，两点，若，求△的面积的取值范围为椭圆的右焦点）． 【1-3】如图，已知抛物线：与圆： （）相交于， ， ，四个点， （1）求的取值范围； （2）设四边形的面积为，当最大时，求直线与直线的交点的坐标. 题型二 曲线间的距离的最值 罗师导航 曲线间的动点距离问题，常构造函数模型，进而用导数求解. 【例2-1】已知点为函数的图象上任意一点，点为圆任意一点，则线段的长度的最小值为　　 A． B． C． D． 【例2-2】设，其中，则的最小值为（ ） 【例2-3】已知函数，，为常数），当时取得极大值，当时取极小值，则的取值范围是　　　　． 【能力达标训练】 【2-1】若均为任意实数，且，则的最小值为 （ ） 【2-2】设．，则的最小值为　　 A． B．1 C． D．2 【2-3】设满足方程的点，的运动轨迹分别为曲线，，若在区间，内，曲线，有两个交点（其中是自然对数的底数），则实数的最大值为　　 A．4 B． C． D． 【2-4】若，，均为任意实数，且，则的最小值为　　 A． B．18 C． D． 【2-5】已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为　　　　　　． 【2-6】设，当a，b变化时，求的最小值. 题型三 圆的切线 罗师导航 过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R2上一点P(x0,y0)作切线，解析法：设过的切线方程为：，与圆方程联立，利用或者d=r;导数法：导数法（y是x的隐函数）：求导，,,代点，求出切线的斜率，利用点斜式求出切线的方程；若为选填题，二级结论秒杀：切线方程与切点弦直线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2. 若为选填题，二级结论秒杀：过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2. 【例3-1】过点作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ） A． B． C． D． 【例3-2】已知圆，则过点的圆的切线方程为___________. 【能力达标训练】 【3-1】过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为(　　) A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0 题型四 椭圆的切线 罗师导航 过椭圆上一点作切线，解析法：设过的切线方程为：，与椭圆方程联立，利用;导数法：导数法（y是x的隐函数）：求导， ,,代点，求出切线的斜率，利用点斜式求出切线的方程； 若为选填题，二级结论秒杀：切线方程与切点弦直线方程为：. 【例4-1】过圆上一定点的圆的切线方程为.此结论可推广到圆锥曲线上.过椭圆上的点作椭圆的切线.则过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A．x-y-2=0 B．C．D． 【能力达标训练】 【4-1】已知圆的方