27.2.3 相似三角形的判定（二）（课件）-2022-2023学年九年级数学下册同步精品课堂（人教版）

相似三角形的判定（二） 1.探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理; 2.掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算; (重点、难点) 3.掌握判定两个直角三角形相似的方法,并能进行相关计算. 2 除定义外，我们学习了哪些判定两个三角形相似的方法？ 相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 由平行线获得相似常见的有两种基本图形： “A”字型和“X”字型. 除定义外，我们学习了哪些判定两个三角形相似的方法？ 利用三边判定两个三角形相似的定理1： 三边成比例的两个三角形相似. 除定义外，我们学习了哪些判定两个三角形相似的方法？ 利用两边和夹角判定两个三角形相似的定理2： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 两副三角尺，其中有同样两个锐角(30°与60°，或45°与45°)的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的. 利用两组角判定两个三角形相似的定理3： 两角分别相等的两个三角形相似. 证明：在线段A′B′(或它的延长线)上截取A′D=AB，过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E.可得△A′DE∽△A′B′C′.   ∴ ∠A′DE=∠B′   又 ∠B=∠B′   ∴ ∠A′DE=∠B   又 A′D=AB，∠A=∠A′   ∴ △A′DE≌△ABC (ASA)   ∴ △ABC∽△A′B′C′ 例1.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D，求AD的长. 解：∵ ED⊥AB ∴ ∠EDA=90° 又 ∠C=90°，∠A=∠A ∴ △AED∽△ABC ∴ ∴ 由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似. 如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高. 求证：(1)△ACD∽△ABC；(2)△CBD∽△ABC. 证明：(1)∵ CD⊥AB ∴ ∠ADC=∠ACB=90° 又 ∠A=∠A ∴ △ACD∽△ABC (2)∵ CD⊥AB ∴ ∠CDB=∠ACB=90° 又 ∠B=∠B ∴ △CBD∽△ABC 我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定.那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？ 如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′ 中,∠C=∠C′=90°， . 求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. 分析：要证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，可设法证 . 若设 ，则只需证 . 12 如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′ 中,∠C=∠C′=90°， . 求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. 证明：设 ，则AB=kA′B′，AC=kA′C′. 由勾股定理，得 ， ∴ . ∴ ∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似. 13 例2.如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD= ，当AB的长为 时，△ACB与△ADC相似． C A B D 【分析】观察得到AB和AC分别是斜边，但两条直角边的对应关系并没有确定，因此需要分类讨论 解：∵∠ADC=90°，AD=2，CD= ， 要使这两个直角三角形相似，有两种情况： (1)当Rt△ABC∽Rt△ACD时， 有AC:AD＝AB:AC， 即 :2=AB: ，解得 AB=3； ∴ 2 (2)当Rt△ACB∽Rt△CDA时， 有AC:CD＝AB:AC ， 即 : =AB: ， 解得 AB= ． ∴当AB的长为3或 时，这两个直角三角形相似． 例2.如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD= ，当AB的长为 时，△ACB与△ADC相似． C A B D 【分析】观察得到AB和AC分别是斜边，但两条直角边的对应关系并没有确定，因此需要分类讨论 2 如果Rt△ABC的两直角边分别为3和4，那么以3k和4k(k是正整数)为直角边的直角三角形一定与Rt△ABC相似吗？为什么？ 解：如图，∵ ， ∴ 又 ∠C=∠C′=90° ∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 例3.如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为F，折痕交边于点E， (1)求证：； (2)若，求的长； （1）证明： ∵四边形是