不等式多元最值与拉格朗日乘数法 专题讲义-2023届高三数学竞赛复习

2023年高考复习之不等式最值与拉格朗日乘数法 一、多元最值函数 定义：和一元函数一样，多元函数的极值是局部概念，设在点的某个空心邻域, ，则称点为函数的极大值点，极大值为，类似地，可定义极小值点和极小值，函数的极大值与极小值统称为极值。 多元函数极值的必要条件： 定理 设在点具有偏导，且在点处有极值，则，，，此处可推广到元函数. 多元函数极值的充分条件： 定理 设在点有二阶连续偏导，,则 当，； 当； 当。 二、Lagrange(拉格朗日)乘数法: 求函数在条件下的可能极值点，构造拉格朗日函数： 求偏导 极值存在性的判断情况如下： 本方法程序性较强，考生们只需掌握关键的解题步骤，即可套用，并解决平时较难的一些最值问题。接下来我们通过几道例题加以应用说明。 【典例精析】 已知，则的最大值为 . 【解析】 首先构造Lagrange函数， 当故为极小值，不符合题意。 当取到极大值，将代入，可得=。 温馨提示：本题在求得偏导函数的零点时，还需要判断零点对应的为极大值还是极小值。 另解： 不妨令 原式 当且仅当时等号成立. 【举一反三1】若实数，，，满足，则的最大值为________． 【解析】 首先构造Lagrange函数： 对求偏导可得： ， 的最大值为。 【点评】Lagrange(拉格朗日)乘数法在本题中应用方便，解法比较通用，难在解方程组，考生需在解方程组的要点处多花功夫，提升解方程组的能力。 另解： 原式 【点评】（配凑，该方法技巧性强，短时间内不容易凑出） 【举一反三2】（2021年浙江省高考真题 T17） 已知（）满足，记平面向量在方向上的投影分别为，方向上的投影为，则的最小值是 . 【解析】 依题，向量在方向上的投影分别为可得 故= . 【另解】 依题，向量在方向上的投影分别为可得 当且仅当：时取到等号. 【点评】本方法在利用权方和不等式时较为灵活，相对于法1的偏导还不够通用一些. 【举一反三 3】 已知实数x,y,z满足：，则的最大值为_________. 【解析】 本题欲使得最大，等价于均为正数的条件， 故构造Lagrange函数：令， 对求偏导可得： ， 故. 【另解】 令，则原式. 【举一反三 4】 设正数满足的最大值是 . 【解析】 构造Lagrange函数： . 故的最大值为.