专题10 函数应用（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

专题10 函数应用 （一）函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(其中A>0，ω>0)中各量的物理意义 物理中，描述简谐运动的物理量， 如振幅、周期和频率等都与函数y＝Asin(ωx＋φ)中的常数有关： (1)A：它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅(amplitude of vibration)； (2)T：T＝，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为周期(period)； (3)f：f＝＝，它表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率(frequency)； (4)ωx＋φ：称为相位(phase)； (5)φ： x＝0时的相位，称为初相(initial phase)． （二）函数的零点 (1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点． (3)结论：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点. 3．函数零点的判定定理 条件 结论 函数y＝f(x)在[a，b]上 y＝f(x)在(a，b)内有零点 (1)图象是连续不断的曲线 (2)f(a)f(b)＜0 （三）二分法的概念 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2．用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤 (1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε； (2)求区间(a，b)的中点c； (3)计算f(c)： 若f(c)＝0，则c就是函数的零点； 若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c[此时零点x0∈(a，c)]； 若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c[此时零点x0∈(c，b)]． (4)判断是否达到精确度ε： 即若|a－b|＜ε，则得到零点的近似值为a(或b)；否则重复(2)～(4)． 3．二分法的应用 由函数的零点与相应方程根的关系，可以用二分法来求方程的近似解 （四）三种增长函数模型的比较 (1)指数函数和幂函数． 一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn. (2)对数函数和幂函数． 对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn. (3)指数函数、对数函数和幂函数． 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn＜ax几种函数模型的应用 （五）几类不同增长的函数模型的应用 (1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)； (2)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (3)指数函数模型：y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，且b≠1)； (4)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，且a≠1，m≠0)； (5)幂函数模型：y＝axn＋b(a≠0)； (6)分段函数模型 题型一 由三角函数的图象求解析式 【典例1】（2021·江苏·高一单元测试）函数（，）的图象如图所示，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2022·江苏南通·高一期末）已知函数f（x）＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0，0＜＜π）的图象如图所示． (1)求A，ω，的值； (2)当时，求函数f（x）的最值以及取得最值时x的值． 【总结提升】 由图象确立三角函数的解析式时，若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ． (1)A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定． (2)ω：因为T＝，故往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为