专题02 恒成立、能成立问题-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019必修第一册）

专题02 恒成立、能成立问题 【方法技巧与总结】 1、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 2、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 【题型归纳目录】 题型一：分离参数 题型二：判别式法 题型三：数形结合 题型四：多变量的恒成立问题 题型五：主元法 题型六：直接法 【典型例题】 题型一：分离参数 例1．（2022·湖北·高一期中）若对任意，恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】因为，所以，所以不等式可化为， 设，，则，则， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，即，所以， 故答案为： 例2．（2022·江苏苏州·高一期中）设函数 (1)若不等式的解集是，求不等式的解集； (2)当时，对上恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为不等式的解集是， 所以是方程的解， 由韦达定理得：， 故不等式为，即， 解得或， 所以不等式的解集为； （2）当时，在上恒成立， 即在上恒成立，只需， 令，令，， 则，所以， 因为函数在上单调递减，所以当时，， 所以所以实数a的取值范围为 例3．（2022·全国·高一专题练习）若函数 （1）求的最小值及取最小值时所对应的值； （2）若对于任意使恒成立，求实数的范围． 【解析】（1）令，且，即，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以时，，此时，即，所以的最小值为，此时； （2）对于任意使恒成立，即时，， 令，且，即，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以时，，此时，即，所以，故实数的范围为. 变式1．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，（且，为常数），若为上的奇函数，且满足． （1）求实数的值，并判断函数的单调性（不用证明）； （2）对任意不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为是上的奇函数，所以 ，解得 此时， 即函数为上的奇函数 由得，单调递减，且，因此单调递增， 所以在上单调递增 （2）因为函数为上的奇函数所以不等式可化为 由于为上的单调增函数 所以不等式等价于 因为，所以有恒成立 又由于当时，（当且仅当时等号成立） 所以 变式2．（202