一次函数（四）——存在性问题与几何综合 讲义　2022—2023学年北师大版数学八年级上册

一次函数的综合问题考点一 等腰三角形存在性问题 【画龙点睛】两圆一中垂：以已知线段的两个端点为圆心，已知线段的长度为半径画圆，圆和目标线的交点即为所求--已知线段为腰；两圆的交点即为已知线段的中垂线，中垂线与目标线的交点即为所求--已知线段为底；用几何法、代数法、和代几综合解决问题。 例题1 （2022春•双流区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、，是的角平分线，交直线于点． （1）求点的坐标； （2）如图2，是的角平分线，过点作的垂线交于点，交轴于点求直线的解析式； （3）在轴上寻找点使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 变式 （2021秋•双流区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线于点．已知位于第三象限的点在直线上，且． （1）求点的坐标； （2）已知点，在轴负半轴上，点是上一点，连接，，则的值最小，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，若轴上有一点，使以，，为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出满足条件的点的坐标． 考点二 直角三角形的存在性问题 【画龙点睛】两线一圆：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，垂线和目标线的交点即为所求——已知线段为直角边；以已知线段为直径作圆，圆和目标线的交点即为所求——已知线段为斜边。在求解坐标时可以用直角三角形的三边关系为依据，也可以结合数形关系求解。 例题2 （2021春•青羊区校级期中）直线和轴、轴的交点分别为、，点的坐标是，，另一条直线经过点、． （1）求线段所对应的函数表达式； （2）动点从出发沿运动，速度为1秒一个单位长度，当点运动到点时停止运动，设运动秒时，的面积为． ①求与的函数关系式； ②当的时候，在坐标轴上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 变式 （2018秋•温江区校级期末）在平面直角坐标系中有，，把绕点逆时针旋转得，连接，作于点，点的坐标为． （1）求直线的解析式； （2）若中点为，连接，动点、同时从点出发，点沿射线以每秒2个单位长度的速度运动，点沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，当点运动到点时，、同时停止运动，设的面积为，运动时间为秒，求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （3）在（2）的条件下，是否存在这样的点，使得、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出对应的值和