一题多解探寻圆锥曲线压轴破解之策与算法优化（4）2022新高考数学1卷21题解析

2022新高考Ⅰ卷21题解析几何压轴题解法探究 2022新高考Ⅰ卷数学试题，据称是近20年来史上第二难高考数学试题(史上最难2003)．本文将对该卷21题解析几何压轴题，从不同的角度进行解析剖析．以期总结方法规律，优化思考方向，破解难点疑点，为广大的2023届高考师生提供有益的参考和帮助． 【2022新高考1卷21题】 已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． （1）求l的斜率； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 方法一： 直线双参+韦达法 【解析】(1) 将点代入解得，所以双曲线为 设直线的方程为，设， 联立消去得 ， 由可得 即 展开整理得 即 即， 故或 当时的方程为，其恒过定点，与题意不符 故直线的斜率. (2) 不妨设，其倾斜角为， 由可知 而，故， 即，解得或 因为双曲线渐近线斜率为，故舍去 因为，故舍去，所以 故 直线的方程为，直线的方程为， 消去得 方程的两根为点的横坐标，所以， 消去得 方程的两根为点的横坐标，所以， 于是， 而由可得 所以. 【点评】联立方程韦达定理，是解析几何压轴大题最流行的方法套路．本题引入直线的双参方程，参与计算变形，使得运算过程相对繁复，产生了较大的运算量．要想变形到这一步，没有过硬的计算能力是很难达到的． 方法二： 直线单参+设点求点 【解析】(1) 将点代入解得，所以双曲线为 设，设直线的倾斜角为，不妨设其斜率， 则直线的斜率为 直线的方程为，代入整理得 点的横坐标为方程的两根，故，， 于是点坐标为， 用代换可得 故 (2) 由可知 而，故， 即，解得或 因为双曲线渐近线斜率为，故舍去 因为，故舍去，所以 故 在的坐标中令可得 于是， 而由可得 所以. 【点评】直线过圆锥曲线上已知一点时，可尝试设点求点的套路求出另一点的坐标．本题引入直线的单参方程，可直接求出点的坐标，用代换立即可得点的坐标，从而顺利求得的斜率．本解法思路清晰自然，单参变形所产生的运算量适中，无需特殊方法技巧． 方法三：点差法+整体代换 【解析】(1)将点代入解得，所以双曲线为 设，则， 代入化简整理得 点在双曲线上，故 整理得即 同理可得 代入化简整理得 得，所以 所以. (2)不妨设，其倾斜角为，由可知 而，故， 即，解得或 因为双曲线渐近线斜率为，故舍去 因为，故舍去，所以 故 由解得 由解得 故，