一题多解探寻圆锥曲线压轴破解之策与算法优化（3）湖北省武汉市部分重点中学2022届高三第一次联考数学

2 / 5 武汉市部分重点中学2022届高三第一次联考圆锥曲线“一题多解” ——谈谈圆锥曲线压轴题破解之策与算法优化 【方法策略简述】 一、解析几何大题多以圆锥曲线与直线综合应用的形式呈现，考察动态情形下的范围、最值、定点、定值等问题及存在探索性问题. 二、解决此类问题的方法策略主要有三种： 1、根与系数的关系法（主流方法）． 设出动直线的方程（），与圆锥曲线方程联立消元得到关于的一元二次方程，得两根之和两根之积，同时兼顾的要求，利用两根之和两根之积进行整体代换整体变形而求解． 2、多变量多参数联动变换法． 此种方法有别于方法1，不联立方程消元求解，而是直接将所设出点的坐标代入曲线（直线）方程和题设中，得到若干个关于点的坐标与参数间的关系式，对这些关系式进行整体变形整体代换而求解．如弦中点问题常用点差法处理．此种方法对多变量多参数的代数式的驾驭能力及变换技巧是一种考验． 3、设点求点法． 方法1、2均采用了设而不求的策略．当问题中直线与曲线的交点易求时，可考虑直接求出点的坐标进行求解，即设点求点法．如：动直线过曲线上一已知点时，则另一交点坐标可直接求出；再如动直线与椭圆的交点易求出． 【典题精析】 （2022‧湖北省部分重点中学高三第一次联考‧22） 如图所示，已知抛物线的角度为，过的直线交抛物线与两点，在轴左侧且的斜率大于0. (1)当直线斜率为1时，求弦的长； (2)已知为轴上一点，弦过抛物线的焦点，且斜率,若直线分别交抛物线与两点，问是否存在实数使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【解析】 (1) 设，由题意可知点，直线的方程为， 联立得， (2)法一：设点求点+定比分点 设，由题意可知，直线的方程为， 联立得，， ，直线的方程为， 联立得， 故，点C的坐标为，同理， 若则，则，从而， 即，所以， 由题意可知，所以，，即，所以， 代入方程得，解得， . 评析：处理直线与圆锥曲线相交问题时，设点不求点的思想深入人心．然而当一交点坐标已知时，可考虑直接求出另一交点的坐标．对本题而言，设点求点思路简洁运算简单，是很好的解题方向． 法二：同构思想+定比分点 设， 直线的方程为， 联立得，， 若则，且，于是，从而， 即，，于是， 即，同理 将C坐标代入整理得， ，同理 于是是方程的两根，， 故，. 评析：同构思想是处理对称问题的有力武器；本题同构思想