一题多解探寻圆锥曲线压轴破解之策与算法优化（2）2021年秋“荆、荆、襄、宜四地七校”高二期中联考圆锥曲线

2 / 3 2021年秋“荆、荆、襄、宜四地七校”高二期中联考圆锥曲线“一题多解” ——谈谈圆锥曲线压轴题破解之策与算法优化 【方法策略简述】 一、解析几何大题多以圆锥曲线与直线综合应用的形式呈现，考察动态情形下的范围、最值、定点、定值等问题及存在探索性问题. 二、解决此类问题的方法策略主要有三种： 1、根与系数的关系法（主流方法）． 设出动直线的方程（），与圆锥曲线方程联立消元得到关于的一元二次方程，得两根之和两根之积，同时兼顾的要求，利用两根之和两根之积进行整体代换整体变形而求解． 2、多变量多参数联动变换法． 此种方法有别于方法1，不联立方程消元求解，而是直接将所设出点的坐标代入曲线（直线）方程和题设中，得到若干个关于点的坐标与参数间的关系式，对这些关系式进行整体变形整体代换而求解．如弦中点问题常用点差法处理．此种方法对多变量多参数的代数式的驾驭能力及变换技巧是一种考验． 3、设点求点法． 方法1、2均采用了设而不求的策略．当问题中直线与曲线的交点易求时，可考虑直接求出点的坐标进行求解，即设点求点法．如：动直线过曲线上一已知点时，则另一交点坐标可直接求出；再如动直线与椭圆的交点易求出． 【典题精析】 （2021年秋‧“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考‧22） 已知椭圆：的离心率为，椭圆的短轴长等于4． （1）求椭圆的标准方程； （2）设,,过且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，直线，分别交：于异于点的点，，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为． ①求证：为定值； ②求证：直线过定点. 【解析】 (1)由题意解得 ，所以椭圆的标准方程为：； (2) 法一：对称韦达法 ① 设MN的方程为，与联立得：， 设，，则 ， ， ②设PQ的方程为 ，与联立得， 设，则 由 评析：韦达法，利用两根之和两根之积进行整体代换整体变形而求解！ 法二：设点求点法 ① 直线的方程为，与联立得：， 解得或，故， 同理可得， 直线过点，,即， 整理得， . ②直线的方程为，与联立得：， 解得或，故， 同理可得， ， 于是直线的方程为， 令得， 故直线恒过定点. 评析：处理直线与圆锥曲线相交问题时，设点不求点的思想深入人心．然而当一交点坐标已知时，可考虑直接求出另一交点的坐标．对本题而言，设点求点思路简洁运算简单，是很好的解题方向． 学科网（北京）股份有限公司