第16期 函数、三角函数的应用-【数理报】新教材2022-2023学年高一数学必修第一册同步学案（人教A版2019）

书 专项小练一 １．Ａ；　２．Ａ；　３．ＡＤ． ４．解：因为α (∈ ０，π )２ ，α＋β (∈ π２， )π ， 所以 －α (∈ －π２， )０ ，β＝α＋β－α∈（０，π）． 又ｃｏｓα＝ １７，则ｓｉｎα＝ 槡４３ ７， ｃｏｓ（α＋β）＝－１１１４，则ｓｉｎ（α＋β）＝ 槡５３ １４， 所以ｃｏｓβ＝ｃｏｓ［（α＋β）－α］＝ｃｏｓ（α＋β）ｃｏｓα＋ｓｉｎ（α ＋β）ｓｉｎα＝－１１１４× １ ７ ＋ 槡５３ １４ × 槡４３ ７ ＝ １ ２， 所以β＝ π３． 专项小练二 １．Ｃ；　２．Ａ；　３．ＢＣＤ；　４．２． ５．解：原式＝ｓｉｎ（１５°－８°）＋ｃｏｓ１５°ｓｉｎ８°ｃｏｓ（１５°－８°）－ｓｉｎ１５°ｓｉｎ８° ＝ｓｉｎ１５°ｃｏｓ８°－ｃｏｓ１５°ｓｉｎ８°＋ｃｏｓ１５°ｓｉｎ８°ｃｏｓ１５°ｃｏｓ８°＋ｓｉｎ１５°ｓｉｎ８°－ｓｉｎ１５°ｓｉｎ８° ＝ｓｉｎ１５°ｃｏｓ１５°＝ｔａｎ１５°＝ｔａｎ（４５°－３０°） ＝ １－槡３３ １＋槡３３ ＝２－槡３． 专项小练三 １．Ａ；　２．Ｄ；　３．ＡＢＣ；　４．７５；　５． １２０ １６９． ６．解：原式＝４ｓｉｎ３６°ｃｏｓ３６°ｃｏｓ７２°ｓｉｎ３６° ＝２ｓｉｎ７２°ｃｏｓ７２°ｓｉｎ３６° ＝ ｓｉｎ１４４° ｓｉｎ３６°＝１． 专项小练四 １．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ｂ；　４．ＡＢＣ；　５．－π６；　６．①③． Ａ组 一、单项选择题 １．Ｄ；　２．Ｂ；　３．Ｂ；　４．Ｄ；　５．Ａ；　６．Ｃ；　７．Ａ；　８．Ｃ． 二、填空题　９．３；　１０．２３． 三、解答题 １１．解：（１）由３ｘ２＋１０ｘ＋３＝（３ｘ＋１）（ｘ＋３）＝０， 得ｔａｎα＝－３或ｔａｎα＝－１３． 又α (∈ ３π４， )π ，所以ｔａｎα＝－１３． （２）原式＝ ５＋４ｓｉｎα＋６ｃｏｓ２α２ －８ ｓｉｎα－ｃｏｓα ＝４ｓｉｎα＋３ｃｏｓαｓｉｎα－ｃｏｓα ＝４ｔａｎα＋３ｔａｎα－１ ＝－５４． １２．证明：由ｓｉｎＡ·ｃｏｓ２Ｃ２ ＋ｓｉｎＣ·ｃｏｓ ２Ａ ２ ＝ ３ ２ｓｉｎＢ， 得ｓｉｎＡ·１＋ｃｏｓＣ２ ＋ｓｉｎＣ· １＋ｃｏｓＡ ２ ＝ ３ ２ｓｉｎＢ， 即ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ＋ｓｉｎＡ·ｃｏｓＣ＋ｓｉｎＣ·ｃｏｓＡ＝３ｓｉｎＢ， 所以ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ＋ｓｉｎ（Ａ＋Ｃ）＝３ｓｉｎＢ， 所以ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ＋ｓｉｎ（π－Ｂ）＝３ｓｉｎＢ， 即ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ＋ｓｉｎＢ＝３ｓｉｎＢ， 所以ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ＝２ｓｉｎＢ． １３．解：（１）因为ｃｏｓα＝－ 槡３ １０１０， π ２ ＜α＜π，所以ｓｉｎα＝ １ 槡１０ ．所以ｃｏｓ２α＝２ｃｏｓ２α－１＝２ (× ９ )１０ －１＝ ４５． 所以 (ｓｉｎ α－５π)６ ＝ｓｉｎαｃｏｓ５π６ －ｃｏｓαｓｉｎ５π６ ＝ １槡１０ ( × －槡３)２ (－ － ３槡 )１０ ×１２ ＝ 槡３ １０－槡３０２０ ． （２）由（１）得，ｔａｎα＝－１３，而ｔａｎβ＝－ １ ２， 所以ｔａｎ（α＋β）＝ －１３ (＋ － )１２ １ (－ － )１３ (× － )１２ ＝－１． 又因为 π ２ ＜α＜π， π ２ ＜β＜π， 所以π＜α＋β＜２π，所以α＋β＝７π４． Ｂ组 一、多项选择题 １．ＣＤ；　２．ＡＤ；　３．ＣＤ；　４．ＡＣ． 二、填空题　５．０；　６．－２π３． 三、解答题 ７．解：（１）ｆ（ｘ）＝ｃｏｓ２ｘｃｏｓπ３ －ｓｉｎ２ｘｓｉｎ π ３ ＋ １－ｃｏｓ２ｘ ２ ＝ １２ｃｏｓ２ｘ－ 槡３ ２ｓｉｎ２ｘ＋ １ ２ － １ ２ｃｏｓ２ｘ＝ １ ２ － 槡３ ２ｓｉｎ２ｘ． 所以当２ｘ＝－π２ ＋２ｋπ，即ｘ＝－ π ４ ＋ｋπ（ｋ∈Ｚ）时， ｆ（ｘ）取得最大值，ｆ（ｘ）ｍａｘ＝ １＋槡３ ２ ， ｆ（ｘ）的最小正周期Ｔ＝２π２ ＝π， 故函数ｆ（ｘ）的最大值为１＋槡３２ ，最小正周期为π． （２）由ｆ Ｃ( )２ ＝－ １ ４，即 １ ２ － 槡３ ２ｓｉｎＣ＝－ １ ４， 解得ｓｉｎＣ＝槡３２．又Ｃ为锐角，所以Ｃ＝ π ３． 由ｃｏｓＢ＝ １３求得ｓｉｎＢ＝ 槡２２ ３． 因为ｓｉｎＡ＝ｓｉｎ［π－（Ｂ＋Ｃ）］＝ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）＝ｓｉｎＢｃｏｓＣ ＋ｃｏｓＢｓｉｎＣ＝ 槡２２３ × １ ２ ＋ １ ３ × 槡３ ２ ＝ 槡２２＋槡３ ６ ． ８．解：（１）ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ＝槡 (２ｃｏｓ ｘ－π )４ ， 所以函数ｆ（ｘ）的最小正周期为２π． 又因为 －１≤ (ｃｏｓ ｘ－π )４ ≤１， 故函数ｆ（ｘ）的值域为［－槡２，槡２］． （２）因为ｆ（ｘ）＝ １５，所以槡 (２ｃｏｓ ｘ－π )４ ＝ １５， 即 (ｃｏｓ ｘ－π )４ ＝槡２１０， 因为ｘ (∈ π２，３π)４ ，所以ｘ－