第15期 三角恒等变换-【数理报】新教材2022-2023学年高一数学必修第一册同步学案（人教A版2019）

书 !"#$%& '()* + 、 ,-./0123 ①!"#$% ②Ｃ（α－β） ③ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ ④ｃｏｓα，ｃｏｓβ，ｓｉｎα， ｓｉｎβ 4 、 ,-56./7 1 、 01 、 7823 ①ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ ②Ｃ（α＋β） ③ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ ④ｓｉｎαｃｏｓβ－ｃｏｓαｓｉｎβ ⑤ ｔａｎα＋ｔａｎβ１－ｔａｎαｔａｎβ ⑥α，β，α＋β≠ π２ ＋ ｋπ（ｋ∈Ｚ） ⑦ ｔａｎα－ｔａｎβ１＋ｔａｎαｔａｎβ ⑧α，β，α－β≠ π２ ＋ ｋπ（ｋ∈Ｚ） 9 、 4:-/71 、 0 1 、 7823 ① &'"()*+ , 、 &'"(-*+, 、 & '"().+, ②２ｓｉｎα·ｃｏｓα ③ｃｏｓ２α－ｓｉｎ２α ④２ｃｏｓ２α－１ ⑤１－２ｓｉｎ２α ⑥ ２ｔａｎα １－ｔａｎ２α ; 、 <-23 ① ± １－ｃｏｓα槡 ２ ② ± １＋ｃｏｓα槡 ２ ③ ± １－ｃｏｓα１＋ｃｏｓ槡 α = 、 >?5.23 ① １２［ｓｉｎ（α＋β）＋ ｓｉｎ（α－β）］ ② １２［ｃｏｓ（α＋β）＋ ｃｏｓ（α－β）］ @ 、 5.?>23 ①２ｃｏｓθ＋φ２ ｓｉｎ θ－φ ２ ②２ｃｏｓθ＋φ２ ｃｏｓ θ－φ ２ A 、ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ / BC ① ａ２＋ｂ槡 ２ ② ｂａ ③ ｂ ａ２＋ｂ槡 ２ ④ ａ ａ２＋ｂ槡 ２ 书 专项小练一 １．ＡＣ；　２．Ｂ；　３．Ｄ；　４．－ 槡２２；　５． ２ ３． 专项小练二 １．Ｂ； [　２． ０，π )６ (∪ １１π６，２ ]π ；　３．Ｂ；　４．ＢＤ． 专项小练三 １．Ｂ；　２．Ｄ；　３．ＡＣ；　４．０或 π４， 槡２ ２． 专项小练四 １．Ａ；　２．Ｂ；　３．ＢＣＤ；　４ [． ｋπ＋π６，ｋπ＋π )２ （ｋ∈Ｚ）． Ａ组 一、单项选择题 １．Ｄ；　２．Ｄ；　３．Ｂ；　４．Ｃ；　５．Ａ；　６．Ｄ；　７．Ｃ；　８．Ｄ． 二、填空题　９．４π３；　１０．［－３，０）∪（０，３］． 三、解答题 １１．解：由已知，得ｓｉｎＡ＝槡２ｓｉｎＢ，槡３ｃｏｓＡ＝槡２ｃｏｓＢ， 两式分别平方再相加，得２ｃｏｓ２Ａ＝１，所以ｃｏｓＡ＝±槡２２． 若ｃｏｓＡ＝－槡２２，则ｃｏｓＢ＝－ 槡３ ２，此时Ａ，Ｂ均为钝角，不符 合题意，所以ｃｏｓＡ＝槡２２，所以ｃｏｓＢ＝ 槡３ 槡２ ｃｏｓＡ＝槡３２， 又因为Ａ∈（０，π），Ｂ∈（０，π）， 所以Ａ＝ π４，Ｂ＝ π ６，Ｃ＝π－（Ａ＋Ｂ）＝ ７π １２． １２．解：（１）因为 (ｃｏｓ ２ｘ＋π )６ ∈［－１，１］． 又ｂ＞０，则 －ｂ＜０， 所以 ｙｍａｘ＝ｂ＋ａ＝ ３ ２， ｙｍｉｎ＝－ｂ＋ａ＝－ １ ２ { ，解得ａ＝ １２，ｂ＝１． （２）由（１）知，ｇ（ｘ）＝－ (２ｓｉｎ ｘ－π )３ ． 因为ｓｉｎ ｘ－π３ ∈［－１，１］，所以ｇ（ｘ）∈［－２，２］， 所以ｇ（ｘ）的最小值为 －２， 对应ｘ {的集合为 ｘ ｘ＝２ｋπ＋５π６，ｋ∈ }Ｚ ． １３．解：（１）当ｘ [∈ ０，２π]３ 时，－１２≤ｃｏｓｘ≤１， 由ｆ（ｃｏｓｘ）≥２ｃｏｓｘ＋ａ可得ａ≤３ｃｏｓ２ｘ－２ｃｏｓｘ＋１＝ (３ ｃｏｓｘ－ )１３ ２ ＋２３， 当ｃｏｓｘ＝ １３时，函数ｙ＝ (３ ｃｏｓｘ－ )１３ ２ ＋２３取得最 小值 ２ ３，所以ａ≤ ２ ３，即实数ａ (的取值范围是 －∞， ]２３ ． （２）对任意ｘ１∈［－１，１］，ｆ（ｘ１）＝３ｘ２１＋１∈［１，４］， 当ｘ２∈［０，１］时，则 π ６≤ πｘ２ ２ ＋ π ６≤ ２π ３ ， 所以 １ ２≤ (ｓｉｎ πｘ２２ ＋π )６ ≤１． ① 若ｋ＞０，则ｇ（ｘ２）＋１＝ｋ (ｓｉｎ πｘ２２ ＋π )６ ＋１ [∈ １２ｋ ＋１，ｋ＋ ]１ ，由题意可得 １２ｋ＋１＞４，解得ｋ＞６； ②若ｋ＜０，则ｇ（ｘ２）＋１＝ｋ (ｓｉｎ πｘ２２ ＋π )６ ＋１ [∈ ｋ＋ １，１２ｋ＋ ]１ ，由于 １２ｋ＋１＜１，合乎题意，则ｋ＜０． 综上，实数ｋ的取值范围是（－∞，０）∪（６，＋∞）． Ｂ组 一、多项选择题 １．ＡＣ；　２．ＡＤ；　３．ＡＤ；　４．ＡＤ． 二、填空题　５．１８；　６．８６π３． 三、解答题 ７．解：（１）ｆ（α） ＝ ｓｉｎ（２π－α）ｃｏｓ（π＋α） (ｃｏｓ π２ ＋ )α (ｃｏｓ １１π２ － )α ｃｏｓ（π－α）ｓｉｎ（３π－α）ｓｉｎ（－π－α） (ｓｉｎ ９π２ ＋ )α ＝ｓｉｎ（－α）（－ｃｏｓα）（－ｓｉｎα）（－ｓｉｎα） （－ｃｏｓα）ｓｉｎα·ｓｉｎα·ｃｏｓα ＝－ｔａｎα． （２）由三角函数的诱导公式，可得 ｓｉｎ（１８０°＋α）＝－ｓｉｎα＝－槡１０，即ｓｉｎα＝槡１０，