第14期 诱导公式、三角函数的图象与性质-【数理报】新教材2022-2023学年高一数学必修第一册同步学案（人教A版2019）

书 专项小练一 １．Ｃ；　２．Ｃ；　３．ＡＢＣＤ；　４．２２０°，－１４０°； ５．α＝ｋ·３６０°－β，ｋ∈Ｚ，α＝ｋ·３６０°＋β＋１８０°，ｋ∈Ｚ， α＝ｋ·３６０°＋１８０°－β，ｋ∈Ｚ． 专项小练二 １．Ｄ；　２．Ｂ；　３．ＡＢＣ；　４．（１）３５，（２）－１５７，３０，（３）３９０； ５．（１）π５，（２）－ ７π １２，（３） ５π ２４． 专项小练三 １．Ｃ；　２．ＡＢＤ；　３．Ａ；　４．－４５． ５．解：原式＝ (ｓｉｎ ６π＋π )３ － (ｃｏｓ －８π＋π )４ ＝ｓｉｎπ３ －ｃｏｓ π ４ ＝ 槡３－槡２ ２ ． 专项小练四 １．Ｂ；　２．Ａ；　３．ＡＣＤ；　４．－１． ５．证明： 左边＝３－［（ｓｉｎ ２α＋ｃｏｓ２α）２－２ｓｉｎ２αｃｏｓ２α］ ２ｃｏｓ２α ＝２＋２ｓｉｎ ２αｃｏｓ２α ２ｃｏｓ２α ＝１＋ｓｉｎ ２αｃｏｓ２α ｃｏｓ２α ＝ｓｉｎ ２α＋ｃｏｓ２α＋ｓｉｎ２αｃｏｓ２α ｃｏｓ２α ＝１＋ｔａｎ２α＋ｓｉｎ２α＝右边． 所以原等式成立． Ａ组 一、单项选择题 １．Ｄ；　２．Ｄ；　３．Ｂ；　４．Ａ；　５．Ｃ；　６．Ｂ；　７．Ｂ；　８．Ｃ． 二、填空题　９．＞，＞；　１０．８６４°． 三、解答题 １１．解：（１）与角α {终边相同的角的集合为 θ θ＝２ｋπ＋ π ３，ｋ∈ }Ｚ ，令 －４π＜２ｋπ＋π３ ＜－π，得 －１３６ ＜ｋ＜－２３， 又ｋ∈Ｚ，所以ｋ＝－２，－１， 所以在（－４π，－π）内与角α终边相同的角是 －１１π３，－ ５π ３． （２）由（１）知β＝２ｋπ＋π３（ｋ∈Ｚ），则 β ２ ＝ｋπ＋ π ６（ｋ ∈Ｚ），则当ｋ为偶数时，角 β２是第一象限角；当ｋ为奇数时，角 β ２是第三象限角，所以角 β ２是第一或第三象限角． １２．解：由 ｔａｎθｔａｎθ－６ ＝－１，得ｔａｎθ＝３． （１）２ｓｉｎθ－ｃｏｓθｓｉｎθ＋２ｃｏｓθ ＝２ｔａｎθ－１ｔａｎθ＋２ ＝１． （２）１＋ｓｉｎθｃｏｓθ＝ｓｉｎ ２θ＋ｃｏｓ２θ＋ｓｉｎθｃｏｓθ ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ ＝ｔａｎ ２θ＋１＋ｔａｎθ ｔａｎ２θ＋１ ＝１３１０． １３．解：（１）依题意ｃｏｓα＝ ｍ ｍ２＋（ｍ＋１）槡 ２ ＝ ３５， 整理得７ｍ２－１８ｍ－９＝０，解得ｍ＝３或ｍ＝－３７， 因为α为第一象限角，则ｍ＞０，故ｍ＝３， 所以ｔａｎα＝ｍ＋１ｍ ＝ ４ ３． （２）由（１）知Ｐ（３，４），则ｓｉｎα＝ ４５， 则ｓｉｎα（ｓｉｎα＋ｃｏｓα）＝ (４５ ４５ ＋ )３５ ＝２８２５． Ｂ组 一、多项选择题 １．ＡＢＤ；　２．ＢＤ；　３．ＡＣＤ；　４．ＣＤ． 二、填空题　５ [． π２，３π]２ ；　６．ｌｇ２５． 三、解答题 ７．解：由题意得，动点Ｐ，Ｑ由第ｋ次相遇到第ｋ＋１次相遇所 走的弧长恰好是一个圆的周长４π，因此它们第五次相遇时所走 的弧长为２０π． 设动点Ｐ，Ｑ从Ａ出发到第５次相遇所用的时间为ｔ秒，走过 的弧长分别为ｌ１，ｌ２， 则ｌ１ ＝ π ３ｔ×２＝ ２π ３ｔ，ｌ２ ＝ － π ６ ｔ×２＝ π ３ｔ， 因为ｌ１＋ｌ２ ＝ ２π ３ｔ＋ π ３ｔ＝２０π， 所以ｔ＝ ２０π２π ３ ＋ π ３ ＝２０秒，所以ｌ１＝ ４０π ３，ｌ２＝ ２０π ３． 因此Ｐ，Ｑ走过的弧长分别为４０π，２０π． ８．解：因为∠ＡＯＢ＝６０°＝ π３， ) ＡＢ的长度为１００πｍ， 所以ＯＡ＝１００π π ３ ＝３００（ｍ）． 根据题意可知当 ⊙Ｏ１是扇形 ＡＯＢ 的内切圆时广场占地面积最大，此时ＯＡ 切⊙Ｏ１于点Ｃ．连接Ｏ１Ｏ，Ｏ１Ｃ，如右图． 则∠Ｏ１ＯＣ＝ π ６，∠Ｏ１ＣＯ＝ π ２， ＯＯ１ ＝ＯＡ－Ｏ１Ｃ＝３００－Ｏ１Ｃ， 因为Ｏ１Ｃ＝Ｏ１Ｏ·ｓｉｎ π ６， 所以Ｏ１Ｃ＝（３００－Ｏ１Ｃ）× １ ２，解得Ｏ１Ｃ＝１００． 这时⊙Ｏ１的面积为π×１００２ ＝１００００π（ｍ２）． 故当⊙Ｏ１是扇形ＡＯＢ的内切圆时，广场占地面积最大，最 大值为１００００πｍ２． ９．解：由一元二次方程根与系数的关系可知 ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝槡３＋１２ ， ｓｉｎθ·ｃｏｓθ＝ ｍ２ { ． ①② （１）原 式 ＝ ｓｉｎθ １－ｃｏｓθｓｉｎθ ＋ ｃｏｓθ １－ｓｉｎθｃｏｓθ ＝ ｓｉｎ ２θ ｓｉｎθ－ｃｏｓθ ＋ ｃｏｓ２θ ｃｏｓθ－ｓｉｎθ ＝ｓｉｎ ２θ－ｃｏｓ２θ ｓｉｎθ－ｃｏｓθ ＝ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝槡３＋１２ ． （２）将①两边平方得１＋２ｓｉｎθｃｏｓθ＝槡３＋２２ ， 将②代入上式得ｍ＝槡３２． （３）由（２）知，原方程为２ｘ２－（槡３＋１）ｘ＋槡 ３ ２ ＝０， 解得ｘ１ ＝槡 ３ ２，ｘ２ ＝ １ ２， 所以 ｓｉｎθ＝槡３２， ｃｏｓθ＝{ １２ 或 ｓｉｎθ