第13期 任意角和弧度制、三角函数的概念-【数理报】新教材2022-2023学年高一数学必修第一册同步学案（人教A版2019）

书 专项小练一 １．ＣＤ；　２．Ｂ；　３．Ｂ；　４．１． ５．解：设ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ＋ｘ－４， 则函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ＋ｘ－４在（０，＋∞）内是单调递增的， 故函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ＋ｘ－４仅有一个零点． 因为ｆ（１）＝ｌｎ１＋１－４＜０， ｆ（２）＝ｌｎ２＋２－４＜０，ｆ（３）＝ｌｎ３＋３－４＞０， 所以ｆ（２）·ｆ（３）＜０，即ｋ＝２． 专项小练二 １．Ｃ；　２．ＡＢＤ；　３．１０． 专项小练三 １．Ａ；　２．ＡＤ；；　３．ｙ３，ｙ２，ｙ１． 一、单项选择题 １．Ｂ；　２．Ａ；　３．Ｃ；　４．Ｂ；　５．Ａ；　６．Ｂ；　７．Ｄ；　８．Ｂ． 二、多项选择题 ９．ＡＢＣ；　１０．ＡＢＣ；　１１．ＡＤ；　１２．ＢＣＤ． 三、填空题 １３．－ｌｇ２；　１４．２６；　１５．［－１，０）；　１６．②③④． 四、解答题 １７．解：由２ｌｇ（３ｘ－２）＝ｌｇｘ＋ｌｇ（３ｘ＋２）， 得 ３ｘ－２＞０， ｘ＞０， ３ｘ＋２＞０ { ， 所以ｘ＞ ２３． 又（３ｘ－２）２ ＝ｘ（３ｘ＋２），所以ｘ＝２或ｘ＝ １３（舍）． 故ｌｏｇ 槡ｘ 槡槡槡２ ２２ ＝ｌｏｇ槡２（槡２） ７ ４ ＝ ７４． １８．解：（１）由题意得ｙ＝ ０．１ｘ，　　　　　　　０≤ｘ≤１５， １．５＋２ｌｏｇ５（ｘ－１４），ｘ＞１５ { ． （２）当ｘ∈［０，１５］时，０≤０．１ｘ≤１．５，因为５．５＞１．５， 所以ｘ＞１５，故１．５＋２ｌｏｇ５（ｘ－１４）＝５．５，解得ｘ＝３９． 故业务员老张的销售利润是３９万元． １９．解：依题意得４ｘ＋ｍ·２ｘ＋１＋２ｍ２－４≥０恒成立， 令ｔ＝２ｘ ＞０， 即ｇ（ｔ）＝ｔ２＋２ｍｔ＋２ｍ２－４≥０对于ｔ＞０恒成立， 当 －ｍ≤０，即ｍ≥０时， 只需满足ｇ（０）＝２ｍ２－４≥０，解得ｍ≥槡２； 当 －ｍ＞０，即ｍ＜０时， 只需满足ｇ（－ｍ）＝ｍ２－４≥０，解得ｍ≤－２． 综上所述，实数 ｍ的取值范围为（－∞，－２］∪ ［槡２， ＋∞）． ２０．解：（１）由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 ０ｍ／ｓ，此时耗氧量为３０个单位，故有ａ＋ｂｌｏｇ３ ３０ １０＝０，即ａ＋ｂ ＝０．当耗氧量为９０个单位时，速度为１０ｍ／ｓ，故ａ＋ｂｌｏｇ３ ９０ １０＝ １０，整理得ａ＋２ｂ＝１０．解方程组 ａ＋ｂ＝０， ａ＋２ｂ＝{ １０得 ａ＝－１０，ｂ＝１０{ ． （２）由（１）知，ｖ＝ａ＋ｂｌｏｇ３ Ｑ １０＝－１０＋１０ｌｏｇ３ Ｑ １０．所以要 使飞行速度不低于２０ｍ／ｓ，则有ｖ≥２０，所以－１０＋１０ｌｏｇ３ Ｑ １０≥ ２０，即ｌｏｇ３ Ｑ １０≥３，解得 Ｑ １０≥２７，即Ｑ≥２７０．所以若这种鸟类为 赶路程，飞行的速度不能低于２０ｍ／ｓ，则其耗氧量至少要２７０个 单位． ２１．解：（１）由题意，函数ｆ（ｘ）＝ｘ２－３ｍｘ＋ｎ＝（ｘ－１）（ｘ －２），所以ｍ＝１，ｎ＝２， 因为ｆ（ｘ）－ｋ＞０在ｘ∈［０，５］恒成立， 则ｋ＜ｆ（ｘ）＝ｘ２－３ｘ＋２ (＝ ｘ－ )３２ ２ －１４， 当ｘ＝ ３２时，ｆ（ｘ）有最小值 － １ ４， 所以ｋ (的取值范围是 －∞，－ )１４ ． （２）由题意，函数ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｘ ＝ ｘ２－３ｘ＋２ ｘ ＝ｘ＋ ２ ｘ－ ３，可得Ｆ（ｘ）＝ｇ（２ｘ）－ｒ·２ｘ ＝（１－ｒ）２ｘ＋２ ２ｘ －３， 因为Ｆ（ｘ）在ｘ∈［－１，１］上有零点， 即Ｆ（ｘ）＝（１－ｒ）２ｘ＋２ ２ｘ －３＝０在［－１，１］上有解， 即ｒ＝ ２ （２ｘ）２ －３ ２ｘ ＋１在ｘ∈［－１，１］上有解． 令ｔ＝ １ ２ｘ ，因为ｘ∈［－１，１］，所以ｔ [∈ １２， ]２ ，ｒ＝２ｔ２ －３ｔ＋１＝ (２ ｔ－ )３４ ２ －１８， 所以当ｔ＝ ３４时，ｒ取得最小值 － １ ８； 当ｔ＝２时，ｒ取得最大值３； 所以实数ｒ [的取值范围为 －１８， ]３ ． ２２．解：（１）因为函数的图象过点Ａ（０，１），Ｂ（３，８）， 所以 ｋ＝１， ｋ·ａ－３ ＝８{ ，解得ｋ＝１，ａ＝ １２． 所以ｆ（ｘ）＝２ｘ． （２）由（１）得，ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｘ）－１＝ ２ｘ＋ｂ ２ｘ－１ ， 则２ｘ－１≠０，解得ｘ≠０， 所以函数ｇ（ｘ）定义域为（－∞，０）∪（０，＋∞）． 因为函数ｇ（ｘ）是奇函数， 所以ｇ（－ｘ）＝２ －ｘ＋ｂ ２－ｘ－１ ＝－ｇ（ｘ）＝－２ ｘ＋ｂ ２ｘ－１ ， 即 １＋ｂ·２ｘ １－２ｘ ＝２ ｘ＋ｂ １－２ｘ ， 所以１＋ｂ·２ｘ ＝２ｘ＋ｂ，即（ｂ－１）·（２ｘ－１）＝０． 对于ｘ∈（－∞，０）∪（０，＋∞）恒成立，所以ｂ＝１． （３）由（２）知，ｇ（ｘ）＝２ ｘ＋１ ２ｘ－１ ＝２ ｘ－１＋２ ２ｘ－１ ＝１＋ ２ ２ｘ－１ ， 且ｘ∈（－∞，０）∪（０，＋∞）． 当ｘ＞０时，ｇ（ｘ）为单调递减的函数； 当ｘ＜０时，