第11期 对数与对数函数-【数理报】新教材2022-2023学年高一数学必修第一册同步学案（人教A版2019）

书 专项小练一 １．ＢＤ；　２．Ａ；　３．Ｂ；　４．－１４；　５．３． ６．解：０．０６４－ １ ３ (－ － )７８ ０ ＋１６０．７５＋（０．０１） １ ２ ＝［（０．４）３］－ １ ３ －１＋ ４１６槡 ３＋［（０．１）２］ １ ２ ＝ ５２ －１＋８＋ １ １０＝ ４８ ５． 专项小练二 １．Ｄ；　２．ＢＣＤ；　３．Ａ；　４．｛－１｝； ５．①２ｘ－１≠０，②１，③（０，１）∪（１，＋∞）； ６．ｆ（ｘ）＝ｘ １ ２． ７．解：（１）设指数函数ｙ＝ｅｘ，由于底数ｅ＞１， 所以函数ｙ＝ｅｘ在（－∞，＋∞）上是增函数． 由３＞２．５得ｅ３ ＞ｅ２．５． （２）设指数函数ｙ＝０．９９ｘ，由于底数０＜０．９９＜１， 所以函数ｙ＝０．９９ｘ在（－∞，＋∞）上是减函数． 由 －１．１＞－２．１得０．９９－２．１ ＞０．９９－１．１． （３）因为１．４０．１ ＞１．４０ ＝１，０．９０．３ ＜０．９０ ＝１， 所以１．４０．１ ＞０．９０．３． Ａ组 一、单项选择题 １．Ｃ；　２．Ａ；　３．Ｄ；　４．Ｂ；　５．Ａ；　６．Ａ；　７．Ａ；　８．Ａ． 二、填空题　９．［－３，＋∞）；　１０．３６． 三、解答题 １１．解：（１）因为ｘ＜ｙ，所以ｘ １ ２ －ｙ １ ２ ＝－ （ｘ １ ２ －ｙ １ ２）槡 ２ ＝－ ｘ＋ｙ－２（ｘｙ）槡 １ ２ ＝－槡６，ｘ １ ２ ＋ｙ １ ２ ＝ （ｘ １ ２ ＋ｙ １ ２）槡 ２ ＝ ｘ＋ｙ＋２（ｘｙ）槡 １ ２ ＝ 槡３２，所以 ｘ １ ２ －ｙ １ ２ ｘ １ ２ ＋ｙ １ ２ ＝－槡６ 槡３２ ＝－槡３３． （２）因为ａ＋ａ－１ ＝５， 所以ａ２＋ａ－２ ＝（ａ＋ａ－１）２－２＝２５－２＝２３． 因为（ａ １ ２ ＋ａ－ １ ２）２ ＝ａ＋ａ－１＋２＝５＋２＝７， 因为ａ １ ２ ＋ａ－ １ ２ ＞０，所以ａ １ ２ ＋ａ－ １ ２ ＝槡７． １２．解：（１）由题意 ａ·ｂ＝８， ａ３·ｂ＝３２{ ，解得ａ＝２，ｂ＝４． （２）设ｇ（ｘ）＝ １( )ａ ｘ ＋ １( )ｂ ｘ ＝( )１２ ｘ ＋( )１４ ｘ ， 则ｇ（ｘ）在Ｒ上是减函数． 所以当ｘ≤１时，ｇ（ｘ）ｍｉｎ＝ｇ（１）＝ ３ ４． 若不等式 １( )ａ ｘ ＋ １( )ｂ ｘ －ｍ≥０在ｘ∈（－∞，１］时恒 成立，则ｍ≤ １( )ａ ｘ ＋ １( )ｂ ｘ 在ｘ∈（－∞，１］时恒成立，则ｍ ≤ｇ（ｘ）ｍｉｎ，即ｍ≤ ３ ４． 所以实数ｍ的取值范围为 －∞，( ]３４ ． １３．解：（１）当ｔ＝５时，ｆ（５）＝１００ａ １ ２－６０＝１４０，解得ａ＝４． （２）ｆ（５）＝１４０，ｆ（３５）＝１１５，所以上课开始后第５分钟时 学生的注意力比下课前５分钟时注意力更集中． （３）当０＜ｔ≤１０时，函数ｙ＝１００×４ ｔ １０－６０为增函数，且 ｆ（５）＝１４０，所以５≤ｔ≤１０时满足题意； 当２０＜ｔ≤４０时，令ｆ（ｔ）＝－１５ｔ＋６４０≥１４０，解得２０＜ ｔ≤１００３．则学生注意力在１４０以上所持续的时间 １００ ３－５＝ ８５ ３分钟． Ｂ组 一、多项选择题 １．ＡＤ；　２．ＢＣ；　３．ＡＣ；　４．ＢＣ． 二、填空题　５．１；　６ (． ０， )１２ ． 三、解答题 ７．解：设２ｘ ＝ｔ（ｔ＞０），则ｙ＝ｔ２－２ａｔ－ａ， （１）当ａ＝２时，ｆ（ｘ）＞３０ｙ＝ｔ２－４ｔ－３２＞０， 即ｔ＜－４或ｔ＞８． 因为ｔ＞０，所以２ｘ ＞８，即ｘ＞３， 所以不等式的解集是：｛ｘ｜ｘ＞３｝． （２）当ｘ∈（－１，１）时，必有对称轴ｘ＝２ａ－１ (∈ １２， )２ ， 即０＜ａ＜２， 最小值为 ４（－ａ）－（－２ａ）２ ４ ＝－２，化简得ａ＋２ ２ａ－２ ＝２， 由于关于ａ的函数ａ＋２２ａ－２单调递增，故最多有一个实根． 而当ａ＝１时ａ＋２２ａ－２ ＝２，所以ａ的值为１． ８．解：（１）由函数ｆ（ｘ）＝ａｘ－ａ－ｘ（ａ＞０且ａ≠１），且ｆ（１） ＝ ３２，可得ａ－ １ ａ ＝ ３ ２，整理得２ａ ２－３ａ－２＝０，解得ａ＝２ 或ａ＝－１２（舍去），所以函数ｆ（ｘ）的解析式为ｆ（ｘ）＝２ ｘ－２－ｘ． （２）由ｇ（ｘ）＝ａ２ｘ＋ａ－２ｘ－２ｍｆ（ｘ）， 可得ｇ（ｘ）＝２２ｘ＋２－２ｘ－２ｍ（２ｘ－２－ｘ） ＝（２ｘ－２－ｘ）２－２ｍ（２ｘ－２－ｘ）＋２， 令ｔ＝ｆ（ｘ）＝２ｘ－２－ｘ， 可得函数ｆ（ｘ）＝２ｘ－２－ｘ为增函数， 因为ｘ≥１，所以ｔ≥ｆ（１）＝ ３２， 令ｈ（ｔ）＝ｔ２－２ｍｔ＋２＝（ｔ－ｍ）２＋２－ｍ (２ ｔ≥ )３２ ． 若ｍ≥ ３２，则当ｔ＝ｍ时，ｈ（ｔ）ｍｉｎ＝２－ｍ ２ ＝－１， 解得ｍ＝槡３（ｍ＝－槡３舍去）； 若ｍ＜ ３２，则当ｔ＝ ３ ２时，ｈ（ｔ）ｍｉｎ＝ １７ ４ －３ｍ＝－１， 解得ｍ＝ ７４ ＞ ３ ２，