第10期 指数与指数函数-【数理报】新教材2022-2023学年高一数学必修第一册同步学案（人教A版2019）

书 一、单项选择题 １．Ｃ；　２．Ａ；　３．Ｃ；　４．Ｃ； ５．Ｄ；　６．Ｄ；　７．Ｃ；　８．Ｄ． 二、多项选择题 ９．ＡＤ；　１０．ＡＣＤ；　１１．ＢＣＤ；　１２．ＢＣ． 三、填空题 １３．２；　１４．（１，２］；　１５．Ｖ１，Ｔ３； １６．（－∞，２］． 四、解答题 １７．解：ｆ（ｘ）＝ｘ ２＋２ｘ＋４ ｘ ＝ｘ＋ ４ ｘ＋２， ①当ｘ＞０时，ｘ＋４ｘ≥２ ｘ· ４ 槡 ｘ ＝４，当且仅当 ｘ＝２时，ｘ＋４ｘ取得最小值４，无最大值． ②当ｘ＜０时，ｘ＋４ｘ＝－ （－ｘ）＋ ４ （－ｘ[ ]）≤－４， 当且仅当ｘ＝－２时，ｘ＋４ｘ取得最大值 －４，无最小值． 由①②可知，当ｘ＞０时，ｆ（ｘ）取得最小值为６，无 最大值；当ｘ＜０时，ｆ（ｘ）取得最大值为 －２，无最小值． １８．解：（１）函数 ｆ（ｘ）没有零点，即方程 ｘ２＋（ａ－ １）ｘ＋１＝０没有实根，只需Δ＝（ａ－１）２－４＜０，即ａ２ －２ａ－３＜０，解得 －１＜ａ＜３，即 ａ的取值范围是 （－１，３）． （２）依题意，可得 －ａ－１２ ＝１，解得ａ＝－１， 所以ｆ（ｘ）＝ｘ２－２ｘ＋１． 所以不等式ｆ（ｘ）＞１为ｘ２－２ｘ＋１＞１， 即ｘ２－２ｘ＞０，解得ｘ＜０或ｘ＞２． 所以不等式ｆ（ｘ）＞１的解集为｛ｘ｜ｘ＜０或ｘ＞２｝． １９．解：由题意可得函数的解析式为： ｙ＝ ８０，　０＜ｘ≤２０， ２００，２０＜ｘ≤４０， ３２０，４０＜ｘ≤６０， ４４０，６０＜ｘ≤８０， ５６０，８０＜ｘ≤１００， ７６０，１００＜ｘ≤２００        ． 画函数图象如右图所示． ２０．解：（１）由题意得，ＢＡ， 所以 ２ａ≤－２， －ａ≥３{ ，解得ａ≤－３． 所以实数ａ的取值范围是（－∞，－３］． （２）由题可得瓙ｐ：ｘ∈｛ｘ｜－２＜ｘ＜３｝，瓙ｑ：ｘ∈｛ｘ ｜２ａ≤ｘ≤－ａ｝，由题意知瓙ｐ瓙ｑ，即｛ｘ｜－２＜ｘ＜ ３｝｛ｘ｜２ａ≤ｘ≤－ａ｝， 所以 ａ＜０， ２ａ≤－２， －ａ≥３ { ， 解得ａ≤－３， 故实数ａ的取值范围为（－∞，－３］． （３）不存在实数ａ，使“ｘ∈Ａ”是“ｘ∈Ｂ”的充要条 件，理由：无论ａ取何值，Ａ≠Ｂ． ２１．解：（１）函数ｆ（ｘ）在［－１，１］上是增函数． 设 －１≤ｘ１ ＜ｘ２≤１，则 －ｘ２∈［－１，１］， 因为ｆ（ｘ）是奇函数， 所以ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＝ｆ（ｘ１）＋ｆ（－ｘ２） ＝ ｆ（ｘ１）＋ｆ（－ｘ２） ｘ１＋（－ｘ２） （ｘ１－ｘ２） 因为当ａ，ｂ∈［－１，１］，ａ＋ｂ≠０时， 有 ｆ（ａ）＋ｆ（ｂ） ａ＋ｂ ＞０，所以 ｆ（ｘ１）＋ｆ（－ｘ２） ｘ１＋（－ｘ２） ＞０， 又ｘ１－ｘ２ ＜０， 所以 ｆ（ｘ１）＋ｆ（－ｘ２） ｘ１＋（－ｘ２） （ｘ１－ｘ２）＜０， 即ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）＜０． 所以函数ｆ（ｘ）在［－１，１］上是增函数． （２）由（１）可知函数 ｆ（ｘ）的最小值为 ｆ（－１）＝ －ｆ（１）＝－１，最大值为ｆ（１）＝１， 故函数ｆ（ｘ）的值域为［－１，１］，与定义域相同， 所以函数ｆ（ｘ）是“同域函数”． ２２．解：（１）由ｆ（０）＝ｆ（２）可知二次函数ｆ（ｘ）的对 称轴为ｘ＝１，又其最小值为１，则可设二次函数ｆ（ｘ）＝ ａ（ｘ－１）２＋１． 又ｆ（０）＝３，所以ｆ（０）＝ａ＋１＝３，ａ＝２． 所以ｆ（ｘ）＝２（ｘ－１）２＋１＝２ｘ２－４ｘ＋３． 即ｆ（ｘ）＝２ｘ２－４ｘ＋３． （２）当 －１＜ｍ≤１时， ｆ（ｘ）ｍｉｎ ＝ｆ（ｍ）＝２ｍ ２－４ｍ＋３， ｆ（ｘ）ｍａｘ＝ｆ（－１）＝２＋４＋３＝９， 此时函数的值域为［２ｍ２－４ｍ＋３，９］； 当１＜ｍ≤３时，ｆ（ｘ）ｍｉｎ ＝ｆ（１）＝１， ｆ（ｘ）ｍａｘ＝ｆ（－１）＝９，此时值域为［１，９］； 当ｍ＞３时，ｆ（ｘ）ｍｉｎ ＝ｆ（１）＝１， ｆ（ｘ）ｍａｘ＝ｆ（ｍ）＝２ｍ ２－４ｍ＋３， 此时值域为［１，２ｍ２－４ｍ＋３］． 综上所述，当 －１＜ｍ≤１时，值域为［２ｍ２－４ｍ＋ ３，９］； 当１＜ｍ≤３时，值域为［１，９］；当ｍ＞３时，值域为 ［１，２ｍ２－４ｍ＋３］． （３）函数ｆ（ｘ）在区间［２ａ，ａ ＋１］上不单调， 所以２ａ＜１＜ａ＋１，解得 ０＜ａ＜ １２．故ａ ( 的取值范围是 ０， )１２ ． 书 一、忽视ｎ的奇偶性对式子 ｎ ａ槡 ｎ的影响 例１化简 ４ （３ａ－３）槡 ４的结果是 ． 错解：３ａ－３． 事实上，由于根指数４是偶数，且３ａ－３的正负性不 确定，所以结果应是｜３ａ－３｜． 二、对根式及分数指数幂的意义、运算法则运用有 误 例２有下列命题： ① ｎ ａ槡 ｎ ＝ａ；②若ａ∈Ｒ，则（ａ２－ａ＋１）０ ＝１；③ ３ ｘ４＋ｙ槡 ３ ＝ｘ ４ ３ ＋ｙ；④ ３－槡 ５＝ ６ （－５）槡 ２． 其中正确命题的个数是 （　　）