第14期 抛物线-【数理报】新教材2022-2023学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版2019）

书 专项小练一 １．Ｂ；　２．Ｄ；　３．Ｄ． ４． 槡２２；　５．（－∞，－２）∪（２，＋∞）． ６．解：设双曲线方程为ｙ ２ ａ２ －ｘ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）． 由已知椭圆的两个焦点Ｆ１（０，－３），Ｆ２（０，３）， 又双曲线与椭圆交点Ａ的纵坐标为４， 所以Ａ（槡１５，４）， ４２ ａ２ －（槡１５） ２ ｂ２ ＝１， ａ２＋ｂ２ ＝９ { ， 解得 ａ２ ＝４， ｂ２ ＝５{ ， 故双曲线方程为 ｙ２ ４ － ｘ２ ５ ＝１． 专项小练二 １．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ａ．　４．５４；　５．ｘ ２－ｙ ２ ９ ＝１． ６．解：根据题意可设双曲线的方程为 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）． 由椭圆方程知椭圆的半焦距是４，离心率为 ４５， 则可得双曲线的焦点坐标是（－４，０），（４，０），即ｃ＝４． 双曲线的离心率ｅ＝１４５ － ４ ５ ＝２． 由ｅ＝ ｃａ ＝２，得ａ＝２，从而ｂ ２ ＝４２－２２ ＝１２． 所以双曲线的方程为 ｘ２ ４ － ｙ２ １２＝１． Ａ组 一、单项选择题　１～４　ＤＡＢＣ　５～８　ＡＣＤＢ 二、填空题　９．１６；　１０．槡５． 三、解答题 １１．解：（１）椭圆方程可化为ｘ ２ ６４＋ ｙ２ １６＝１， 焦点坐标为（± 槡４３，０）， 故可设双曲线的方程为 ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１， 其渐近线方程为ｙ＝± ｂａｘ， 则 ｂ ａ ＝ 槡３ ３，又ｃ ２＝ａ２＋ｂ２＝４８，所 以可得ａ２＝３６，ｂ２＝１２，所以所求双曲线 的标准方程为 ｘ２ ３６－ ｙ２ １２＝１． （２）由题意可设所求双曲线方程为 ｘ２ ８ － ｙ２ １６＝λ（λ≠０）， 因为点 Ｃ（－ 槡２２，槡２３）在双曲线 上， 所以１－３４ ＝λ，解得λ＝ １ ４， 所以所求双曲线的标准方程为 ｘ２ ２ － ｙ２ ４ ＝１． １２．解：（１）双曲线Ｃ：ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的虚轴长 为 槡２６，离心率为槡３， 所以 ｃ ａ ＝槡３， ｂ＝槡６， ｃ２ ＝ａ２＋ｂ２ { ， 解得ａ＝槡３，ｂ＝槡６，ｃ＝３， 所以双曲线的方程为 ｘ２ ３ － ｙ２ ６ ＝１． （２）由（１）知双曲线ｘ ２ ３－ ｙ２ ６ ＝１的右焦点为Ｆ２（３，０），设 经过双曲线右焦点 Ｆ２且倾斜角为 ３０°的直线的方程为 ｙ＝ 槡３ ３（ｘ－３），该直线与双曲线的交点为Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 由 ｘ２ ３ － ｙ２ ６ ＝１， ｙ＝槡３３（ｘ－３ { ），得５ｘ２＋６ｘ－２７＝０， 则ｘ１＋ｘ２ ＝－ ６ ５，ｘ１ｘ２ ＝－ ２７ ５， 所以 ｜ＡＢ｜＝ １＋ｋ槡 ２ ｜ｘ１ －ｘ２ ｜＝ １＋槡 １ ３ ( × － )６５ ２ －４ (× －２７)槡 ５ ＝ 槡 １６３ ５ ． １３．解：（１）由题意可知ｃ＝槡２，ａ＝１，所以ｂ２＝ｃ２－ａ２＝１， 所以双曲线的方程为ｘ２－ｙ２＝１，渐近线方程为ｘ±ｙ＝０． （２）设点Ｐ的坐标为（ｘ，ｙ），点Ｃ的坐标为（ｘ０，ｙ０）， 则线段ＡＣ的中点Ｐ１（ｘ１，ｙ１）的坐标为 ｘ１ ＝ ｘ０－２ ２ ， ｙ１ ＝ ｙ０ ２ { ． 由平行四边形的性质，点Ｐ１（ｘ１，ｙ１）也是线段ＰＢ的中点， 所以有 ｘ１ ＝ ｘ＋２ ２ ， ｙ１ ＝ ｙ ２ { ． 因此（ｘ０，ｙ０）可用ｘ，ｙ表示，得 ｘ０ ＝ｘ＋４， ｙ０ ＝ｙ { ， ① 又由于Ｃ（ｘ０，ｙ０）在曲线ｘ２－ｙ２ ＝１上， 因此，ｘ２０－ｙ２０ ＝１， ② ①代入②，得（ｘ＋４）２－ｙ２ ＝１． 因为平行四边形不可能有两个以上的顶点在一条直线上， 所以动点Ｐ的轨迹是除去两点（－５，０），（－３，０）的曲线（ｘ ＋４）２－ｙ２ ＝１． Ｂ组 一、多项选择题　１．ＡＣＤ；　２．ＢＣＤ；　３．ＡＣＤ；　４．ＡＣＤ． 二、填空题　５．ｘ ２ ４ － ｙ２ １２＝１；　６．（槡２，＋∞）． 三、解答题 ７．解：（１）由４ｘ２－９ｙ２ ＝３６，得ｘ ２ ９ － ｙ２ ４ ＝１， 所以ａ＝３，ｂ＝２，ｃ＝槡１３， 所以焦点坐标 Ｆ１（－槡１３，０），Ｆ２（槡１３，０），离心率 ｅ＝ 槡１３ ３ ，渐近线方程为ｙ＝± ２ ３ｘ． （２）由双曲线的定义可知｜｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜｜＝６， 所以ｃｏｓ∠Ｆ１ＰＦ２ ＝ ｜ＰＦ１｜２＋｜ＰＦ２｜２－｜Ｆ１Ｆ２｜２ ２｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜ ＝ （｜ＰＦ１｜－｜ＰＦ２｜）２＋２｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜－｜Ｆ１Ｆ２｜２ ２｜ＰＦ１｜·｜ＰＦ２｜ ＝３６＋３２－５２３２ ＝ １ ２，则∠Ｆ１ＰＦ２ ＝６０°． ８．解：（１）由已知得双曲线 Ｃ的焦点为 Ｆ１（－２，０），Ｆ２（２， ０）．由双曲线定义｜｜ＡＦ１｜－｜ＡＦ２｜｜＝２ａ，得 ２５＋槡 ７－ １＋槡 ７ ＝２ａ，所以ａ＝槡２，ｃ